離散システムの方程式(狼とウサギ)

狼とウサギがある地域に生きている様を想像しましょう.ウサギは,草を食べ, 子孫を増やし,狼はそのウサギ゛を食べ,やはり自分の子孫を増やしていきます. 今の世代の個体数は,その前の親の世代の個体数に依存します. 狼が増えすぎて,ウサギを食べ過ぎて少なくなったら,狼も食料が少なくなって 狼も数が減ります.逆に,狼が少なくなりすぎて,ウサギが増えすぎたら,草が食べ 尽くされてウサギの餌がなくなりウサギが減少,それに伴って狼もというようにです. 実際の自然界では,人間と言う「外乱」が邪魔をしない限り,それぞれの生き物達が 絶妙のバランスを保って生きています.生態系を表すモデル式の詳しい話しは別の 機会として,$x(0)$ と$y(0)$ で今のウサギと狼の個体数, $x(n)$ と $y(n)$ で,$n$ 年後のそれぞれの個体数を表すとすれば,ウサギと狼の個体数の変化を表す式は

$$x(n+1)=f(x(n),y(n))$$ (1)

$$y(n+1)=g(x(n),y(n))$$ (2)

という式で表されるでしょう.この式の意味するところは,$n+1$ 年後の ウサギと狼の個体数がその前の年のウサギと狼の個体数 $x(n)$ と $y(n)$ で決まる 事を表しています. 狼とウサギが生きている環境は毎年同じ(気象の変動や,人間の環境破壊など 外乱は無いもの)としています. $f$ や $g$ がどんな関数を表すかは取り合えず置いて おきますが,このような方程式は,生態系に限らず,物理系,機械系,社会経済, etcにも現れます.(無論,計算機関係にも) 今後,このような式を扱って行くわけですが,先ずは最も簡単なものから手を付けます. $(\ref{eqn:rsn11}),( \ref{eqn:rsn12})$ 式の替わりに

$$% latex2html id marker 1773 x(n+1)=\alpha x(n)+\beta y(n) \eqno{(\ref{eqn:rsn11}')}$$

$$% latex2html id marker 1775 y(n+1)=\gamma x(n)+\delta y(n) \eqno{(\ref{eqn:rsn12}')}$$

を扱います. $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ は定数とします. 行列とベクトルを使えば,

$$A= \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$\chi(n)= \left \lbrack \begin{array}{c} x(n) \\ y(n) \\ \end{array} \right \rbrack$$

として

$$\chi (n+1)=A \chi (n)$$ (3)

と表すことができます.

$$\chi(0)= \left \lbrack \begin{array}{c} x(0) \\ y(0) \\ \end{array} \right \rbrack$$

から始めて $(\ref{eqn:rsn3})$ 式から

$$\chi(1)=A \chi(0)$$

でさらに

$$\chi(2)=A \chi(1)=A(A \chi(0))=A^2 \chi(0)$$

続けると

$$\chi(3)=A \chi(2)=A(A^2 \chi(0))=A^3 \chi(0)$$

$$\vdots$$

$$\chi (n+1)=A \chi (n)=A(A^n \chi (0))=A^{n+1} \chi (0)$$ (4)

となります. まずは手始めに, $\beta =\gamma =0$ という特別な場合を考えましょう.

$$A= \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \delta \\ \end{array} \right \rbrack$$

ですから

$$A^2 = \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha^2 & 0 \\ 0 & \delta^2 \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$\vdots$$

$$A^n= \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha^n & 0 \\ 0 & \delta^n \\ \end{array} \right \rbrack$$

さて以下の練習問題を解いてください.
練習問題 1

1. [(0)] $\alpha = \delta =1$ のとき
2. [(1)] $0<\alpha <1,0<\delta <1$ のとき
3. [(2)] $\alpha >1,0<\delta <1$ のとき
4. [(3)] $0< \alpha <1,\delta >1$ のとき
5. [(4)] $\alpha >1,\delta >1$ のとき

$n\to \infty$とすると$\chi(n)$はどうなりますか？