不変部分空間

大学１年次の線形代数の時間に線形空間の部分空間の話を習ったと思います.

$$\Lambda_c = \{ \mu \in R^n \vert \exists \Omega \in R^{mn}, \mu = G \Omega \}$$

$$\Lambda_{uo} = \{ \nu \in R^n \vert M \nu = 0 \}$$

は $R^n$ の部分空間です.
[証明]
行列 $G$ を

$$\begin{array}{ccc} G \\ \Omega \in R^{nm} \longmapsto G \Omega \in R^n \\ \end{array}$$

という写像と見立てると,

$$\Lambda_c = G (R^{mn})$$

集合と写像の話をご存じの方なら

$$\Lambda_c = G (R^{mn}) = Im(G)$$

です.

$$\mu1 \in \Lambda_c から,ある \Omega_1 \in R^{mn} が存在して, \mu_1 = G \Omega_1$$

$$\mu2 \in \Lambda_c から,ある \Omega_2 \in R^{mn} が存在して, \mu_2 = G \Omega_2$$

$$a_1 \Omega_1 + a_2 \Omega_2 \in R^{mn}$$

で

$$\begin{eqnarray*} G ( a_1 \Omega_1 + a_2 \Omega_2 ) &=& a_1 G \Omega_1 + a_2 G \Omega_2 \\ &=& a_1 \mu_1 + a_2 \mu_2 \\ \end{eqnarray*}$$

ゆえ

$$a_1 \mu_1 + a_2 \mu_2 \in \Lambda_c$$

従って

$$\Lambda_c =Im(G) は線形部分空間.$$

［ $\Lambda_c$ についての証明終り］ 行列 $M$ を

$$\begin{array}{ccc} & M & \\ \nu \in R^n & \longmapsto & M \nu \in R^n \\ \end{array}$$

という写像と見立てると,

$$\Lambda_{uo} = M^{-1}(0)$$

これを $M$ の核 $\ker (M)$ といいます.

$$\Lambda_{uo} = M^{-1}(0)= \ker (M)$$

練習問題11
$Im(G)$ と同様にして,$\ker (M)$ が線形部分空間 であることを示してください.

$$\nu_1 \in \Lambda_{uo}から ,M \nu_1 = 0$$

$$\nu_2 \in \Lambda_{uo}から ,M \nu_2 = 0$$

$$\begin{eqnarray*} M (a_1 \nu_1 + a_2 \nu_2) &=& a_1M \nu_1 + a_2 M \nu_2 \\ &=& a_1・0+a_2・0=0 \\ \end{eqnarray*}$$

ゆえ,

$$a_1 \nu_1+a_2 \nu_2 \in \Lambda_{uo}$$

従って,

$$\Lambda_{uo}は線形部分空間.$$

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行列 $A$ を

$$\begin{array}{ccc} & A & \\ \chi \in R^n & \longmapsto & A \chi \in R^n \\ \end{array}$$

という写像とみなすと

$$A(\Lambda_c) \subseteq \Lambda_c$$

$$A(\Lambda_{uo}) \subseteq \Lambda_{uo}$$

[証明] $\chi \in \Lambda_c = Im(G)$ を任意にとると,ある $\Omega \in R^{mn}$ が存在して

$$\chi = G \Omega$$

両辺に $A$ を作用させると

$$A \chi = A G \Omega$$

ここで

$$G= \lbrack A^{n-1} B,A^{n-2} B,\cdots,AB,B \rbrack$$

でしたから

$$\begin{eqnarray*} A G \Omega &=& A \lbrack A^{n-1} B , A^{n-2} B, \cdots ,A... ...=& \lbrack A^n B ,A^{n-1}B, \cdots ,A^2 B,AB \rbrack \Omega \\ \end{eqnarray*}$$

$A^nB$ がでてきたので,やっとケーリー・ハミルトンの定理の出番です.

$$% latex2html id marker 2611 A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots +a_1 A+a_0 I=0 \eqno{(\ref{eqn:rsn92})}$$

から

$$A^n = -a_{n-1} A^{n-1} \cdots -a_1 A- a_0 I$$

よって

$$A^n B=-a_{n-1} A^{n-1} B \cdots -a_1 A B -a_0 B$$ (43)

$$\lbrack A^n B,A^{n-1}B,…,A^2B,AB \rbrack = \lbrack A^{n-1}B,A^{n-2}B, \cdots ,AB,B \rbrack \Lambda$$

ただし,

$$\Lambda= \left \lbrack \begin{array}{lccccc} -a_{n-1}I & ... ...-a_0 I & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right \rbrack$$

結局

$$A \chi = AG \Omega = G \Lambda \Omega$$

$$\Lambda \Omega \in R^{nm}$$

よって

$$A \chi \in Im(G) = \Lambda_c$$

$$A(\Lambda_c) \subseteq \Lambda_c$$

練習問題12
上と同様にして を示してください.