カルマンの分解

$\left [{ 前節までのお話} \right]$

時不変な離散時間線形システムの状態方程式

$$% latex2html id marker 2615 \chi (k+1)=A \chi(k) + B \omega(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn21})}$$

$$% latex2html id marker 2617 \eta(k) = C \chi(k) + D \omega(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn71})}$$

について

$~~~~~(5),(26)の系が可制御　\iff 　Rank(G)=n$
$~~~~~(5),(26)の系が可観測　\iff　Rank(M)=n$

$$G=\left [{ A^{n-1}B,A^{n-2}B,…,AB,B} \right]$$

$$M= \left[ \begin{array}{l} C\\ CA\\ CA^{2}\\ CA^{3}\\ ・\\ ・\\ CA^{n-1}\\ \end{array} \right]$$

ということが判りました.次にこの可制御性や,可観測性の条件が,充たされない場合 すなわち,$Rank(G)＜n$　のときや　$Rank(M)＜n$ときはどうなってしまうのか？ということを調べました.

その結果,

$R^{n}$の可制御部分空間

$$\Lambda \_c=I_m(G)=\{ \mu \in R^{n}｜\exists \Omega\in R^{mn}\mu=G\Omega\}$$ (44)

と,不可観測部分空間

$$\Lambda_{uo}=Ker(M)=\{\upsilon\in R^{n}｜M\upsilon=0\}$$ (45)

という$R^{n}$の部分線形空間が定義されました.
さらに行列$A$を
            $A$
$\chi\in R^{n} \longmapsto A\chi \in R^{n}$

という写像とみなすと
$A(\Lambda_c)\subseteq\Lambda_c$
$A(\Lambda_{uo})\subseteq\Lambda_{uo}$

ということが判りました.$\Lambda_c$と$\Lambda_{uo}$は$A$について不変であると言います.
さて,ここからが,この節の本題です.

以後$Ｄ=０$とします.

まず　 $\Lambda_{cuo}　=　\Lambda_c\bigcap\Lambda_{uo}$とします.

$\Lambda_{c}$と$\Lambda_{uo}$はそれぞれ$R^{n}$の部分線形空間ですから $\Lambda_{cuo}$も部分線形空間です.

$\left [{ 証明} \right]$

$x,y\in \Lambda_{cuo},\alpha,\beta\in R$とすれば
$x,y\in \Lambda_{c}$　ゆえ $\alpha x+\beta y\in \Lambda_{c}$　　
$x,y\in \Lambda_{uo}$ゆえ $\alpha x+\beta y\in\Lambda_{uo}$
よって
$\alpha x+\beta y\in\Lambda_{c}\bigcap\Lambda_{uo}=\Lambda_{cuo}$

$\left [{ 証明終り} \right]$

また
$A(\Lambda_{cuo})$
$=A(\Lambda_c\bigcap\Lambda_{uo})$
$\subseteq A(\Lambda_c)\bigcap A(\Lambda_{uo})$
$\subseteq \Lambda_{c}\bigcap\Lambda_{uo}$
$=\Lambda_{cuo}$

で$\Lambda_{cuo}$も$A$に対して不変.

$$A(\Lambda_{cuo})\subseteq\Lambda_{cuo}$$ (46)

ここで,線形代数のおさらいです.
―――――――――――――――――――

ベクトル $e_1,e_2,e_3,e_4,\cdots,e_n$が一次独立
$\iff$ 　任意の $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_n\in R$について
          $\{\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\alpha_3 e_3 +\cdots+\alpha_n e_n=０$ならば
             $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\cdots =\alpha_n=0\}$

$Span\{e_1,e_2,e_3,e_4,\cdots,e_n\}$
$=\{\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\alpha_3e_3+\cdots+\alpha_ne_n｜\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_n \in R\}$
は $e_1,e_2,e_3,e_4,\cdots,e_n$に実数 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\\ ~~~~~\cdots,\alpha_n\in R$をかけ足しあわせたもの全体の集合で,これ自身,線形空間になっています

$e_1,e_2,e_3,e_4,\cdots,e_n\in R^{n}$が$R^{n}$の基底
$\iff 　e_1,e_2,e_3,e_4,\cdots,e_n$が一次独立でかつ
               $Span｛e_1,e_2,e_3,e_4,\cdots,e_n｝=R^{n}$

$X\subseteq R^{n}$が部分線形空間
　 $\iff　X$の任意の元$x,y\in X$と任意の実数 $\alpha,\beta\in R$について
              $\alpha x+\beta y\in X$

$X\subseteq R^{n}$が部分線形空間のとき$R^{n}$の基底 $e_1,e_2,e_3,e_4,\cdots,e_n\in R^{n}$
を選べば
$~~~~~X=Span\{e_1,e_2,e_3,\cdots,e_k\}~~~~~k$を$X$の次元といい$dim(X)$で表す.


$X,Y$が$R^{n}$の部分線形空間で $X\bigcap Y=\{0\}$　のとき　
　　　　 $X\oplus Y　=\{x+y｜x\in X,y\in Y\}$
特に　$R^{n}$の基底 $e_1,e_2,e_3,e_4,\cdots,e_n\in R^{n}$を選べば

　　　　 $X=Span\{e_1,e_2,e_3,\cdots,e_k\}~~~~~~~~~~~~~k=dim(X)$
　　　　 $Y=Span\{e_{k+1},e_{k+2},\cdots,e_{k+m+1}\}~~~~m=dim(Y)$
とできる.

―――――――――――――――――おさらい終り――

$\left [{ 行列Aをスッキリさせる} \right]$
$\Lambda_c,\Lambda_{uo},\Lambda_{cuo}$はそれぞれ$R^{n}$ の部分線形空間で,
$\Lambda_{cuo}=\Lambda_{c}\bigcap\Lambda_{uo}$

ですから,$R^{n}$の基底 $e_1,e_2,e_3,e_4,\cdots,e_n$を適当に選べば

$n_1=dim(\Lambda_{cuo})\Lambda_{cuo}$の基底が$n_1$個という意味です.
$n_1+n_2=dim(\Lambda_{c})$
$n_1+n_3=dim(\Lambda_{uo})$

として,下のように,基底 $e_1,e_2,e_3,e_4,\cdots,e_n$を配分できます.

可制御部分空間$\Lambda_c$の基底 $e_1,e_2,e_3,\cdots ,e_{n_1}，e_{n_1+1},e_{n_1+2},\cdots ,e_{n_1+n_2}$
を可制御かつ不可観測な部分空間$\Lambda_{cuo}$の基底 $e_1,e_2,e_3,\cdots ,e_{n_1}$
と残りのベクトル $e_{n_1+1},e_{n_1+2},\cdots ,e_{n_1+n_2}$(可制御かつ可観測)

不可制御部分空間$\Lambda_{uo}$の基底 $e_1,e_2,e_3,\cdots ,e_{n_1}，~~~~e_{n_1+n_2+1},\cdots ,e_{n_1+n_2+n_3}$
を可制御かつ不可観測な部分空間$\Lambda_{cuo}$の基底 $e_1,e_2,e_3,\cdots ,e_{n_1}$
と残りのベクトル $e_{n_1+n_2+1},\cdots ,e_{n_1+n_2+n_3}$(不可制御かつ可観測)

上記以外のベクトル $e_{n_1+n_2+n_3+1,\cdots ,e_n}$(不可制御かつ可観測)
すなわち

$$\Lambda_{cuo}=Span\{ e_1,e_2,e_3,\cdots ,e_{n_1}\}$$ (47)

$\Lambda_{c}=Span\{ e_1,e_2,e_3,\cdots ,e_{n_1},e_{n_1+1},e_{n_1+2},\cdots ,e_{n_1+n_2}\}$
         $=Span\{ e_1,e_2,e_3,\cdots ,e_{n_1}\} \oplus Span\{ e_{n_1+1},e_{n_1+2},\cdots ,e_{n_1+n_2}\}$

$\Lambda_{uo} =Span\{ e_1,e_2,e_3,\cdots ,e_{n_1},e_{n_1+n_2+1},e_{n_1+n_2+2},\cdots,e_{n_1+n_2+n_3}\}$
       $=Span\{ e_1,e_2,e_3,\cdots ,e_{n_1}\} \oplus Span\{ e_{n_1+n_2+1},e_{n_1+n_2+2},\cdots ,e_{n_1+n_2+n_3}\}$

ここで

$$\Lambda_{co} = Span\{ e_{n_1+1},e_{n_1+2},\cdots ,e_{n_1+n_2}\}$$ (48)

$$\Lambda_{ucuo} = Span\{ e_{n_1+n_2+1},e_{n_1+n_2+2},\cdots ,e_{n_1+n_2+n_3}\}$$ (49)

$$\Lambda_{uco} = Span\{ e_{n_1+n_2+n_3+1,\cdots ,e_n}\}$$ (50)

とすれば

$$\Lambda_{c} = \Lambda_{cuo} \oplus \Lambda_{co}$$ (51)

$$\Lambda_{uo} = \Lambda_{cuo} \oplus \Lambda_{ucuo}$$ (52)

$$R^n = \Lambda_{cuo} \oplus \Lambda_{ucuo} \oplus ~\Lambda_{ucuo} \oplus ~\Lambda_{co}$$ (53)

となります.
またそれぞれの部分空間に$A$を作用させれば

$$% latex2html id marker 2811 A(\Lambda_{cuo})\subseteq\Lambda_{cuo} \eqno{(\ref{eqn:rsn103})}$$

　

$$A(\Lambda_{ucuo}) \subseteq A(\Lambda_{uo}) \subseteq \Lambda_{uo}=\Lambda_{cuo} \oplus \Lambda_{ucuo}$$ (54)

$$A(\Lambda_{co}) \subseteq A(\Lambda_c) \subseteq \Lambda_{cuo} \oplus \Lambda_{co}$$ (55)

$$A(\Lambda_{uco}) \subseteq R^{n} =\Lambda_{cuo} \oplus \Lambda_{ucuo} \oplus \Lambda_{ucuo} \oplus \Lambda_{co}$$ (56)

です.　　　　
まず,

$$% latex2html id marker 2813 A(\Lambda_{cuo})\subseteq\Lambda_{cuo} \eqno{(\ref{eqn:rsn103})}$$

と

$$% latex2html id marker 2815 \Lambda_{cuo}=Span\{e_1,e_2,e_3,…,e_{n1}\} \eqno{(\ref{eqn:rsn104})}$$

に注目します.

$e_1\in Span\{e_1,e_2,e_3,\cdots,e_{n_1}\}$ですから(13)式により
$Ae_1\in Span\{e_1,e_2,e_3,\cdots,e_{n_1}\}$

すなわち,ある $y\in Span\{e_1,e_2,e_3,\cdots,e_{n_1}\}$が存在して
$Ae_1=y$
となります. $Span\{e_1,e_2,e_3,\cdots,e_{n_1}\}$の定義からさらに
$\alpha_{11},\alpha_{21},\cdots,\alpha_{n1}$が存在して
$y=\alpha_{11} e_1+\alpha_{21} e_2+\cdots+\alpha_{n1} e_{n_1}$でしたから
$Ae_1=\alpha_{11} e_1+\alpha_{21} e_2+\cdots+\alpha_{n1} e_{n_1}$
です.ここで $e_1,e_2,e_3,\cdots ,e_{n_1}$を並べた行列を $E_1=\left[{e_1,e_2,e_3,\cdots,e_{n_1}}\right]$
とし,
$\alpha_{11},\alpha_{21},\cdots,\alpha_{n1}$を縦に並べた列ベクトルを$\alpha_1$で表せば

$E_1 \alpha_1=Ae_1$
です.　
全く同様に $Ae_2\in Span\{e_1,e_2,e_3,\cdots,e_{n_1}\}$ですから
$\alpha_{12},\alpha_{22},\cdots,\alpha_{n2}$が存在して
$Ae_2=\alpha_{12} e_1+\alpha_{22} e_2+\cdots+\alpha_{n_2}e_{n_1}$
$\alpha_{12},\alpha_{22},\cdots,\alpha_{n2}$を縦に並べた列ベクトルを$\alpha_2$で表せば
$E_1\alpha_2=Ae_2$
この操作を$e_{n_1}$まで繰り返せば,

$$E_1\Gamma_{11}=　AE_１$$ (57)

　　　　　　　　　　
ただし
$E_1=\left[{e_1,e_2,e_3,\cdots,e_{n_1}}\right]$
$\Gamma_{11}=\left[{\alpha_1,\cdots,\alpha_{n_1}}\right]$
次に

$$% latex2html id marker 2861 \Lambda_{co}　　=Span\{e_{n_1+1},e_{n_1+2},\cdots,e_{n_1+n_2}\} \eqno{(\ref{eqn:rsn105})}$$

$$% latex2html id marker 2863 \Lambda_{cuo}=Span\{e_1,e_2,e_3,…,e_{n1}\} \eqno{(\ref{eqn:rsn104})}$$

$$% latex2html id marker 2865 A(\Lambda\b{co})　\subseteq \Lambda_{cuo} \oplus\Lambda_{co} \eqno{(\ref{eqn:rsn110})}$$

　 について同様な操作により

$E_2=\left[{e_{n_1+1},e_{n_1+2},\cdots,e_{n_1+n_2}}\right]$
$E_1=\left[{e_1,e_2,e_3,\cdots,e_{n_1}}\right]$
とすると

$$E_1\Gamma_{12}+E_2\Gamma_{22}=　AE_2$$ (58)

$$% latex2html id marker 2871 \Lambda_{ucuo}=Span\{e_{n_1+n_2... ...{n_1+n_2+2},\cdots,e_{n_1+n_2+n_3}\} \eqno{(\ref{eqn:rsn106})}$$

　　

$$% latex2html id marker 2873 \Lambda_{cuo}=Span\{e_1,e_2,e_3,\cdots,e_{n_1}\} \eqno{(\ref{eqn:rsn104})}$$

$$% latex2html id marker 2875 A(\Lambda_{ucuo})\subseteq\Lambda_{cuo} \oplus Λ_{ucuo} \eqno{(\ref{eqn:rsn109})}$$

について同様な操作により

$E_3=\left[{e_{n_1+n_2+1},e_{n_1+n_2+2},\cdots,e_{n_1+n_2+n_3}}\right]$
とすると

$$E_1\Gamma_{13}+E_3\Gamma_{33}=AE_3$$ (59)

最後に

$$% latex2html id marker 2879 \Lambda_{cuo}=Span\{e_1,e_2,e_3,\cdots,e_{n_1}\} \eqno{(\ref{eqn:rsn104})}$$

$$% latex2html id marker 2881 \Lambda_{co}=Span\{e_{n_1+1},e_{n_1+2},\cdots,e_{n_1+n_2}\} \eqno{(\ref{eqn:rsn105})}$$

$$% latex2html id marker 2883 \Lambda_{ucuo}=Span\{e_{n_1+n_2... ...{n_1+n_2+2},\cdots,e_{n_1+n_2+n_3}\} \eqno{(\ref{eqn:rsn106})}$$

$$% latex2html id marker 2885 \Lambda_{uco}=Span\{ e_{n_1+n_2+n_3+1},\cdots ,e_n\} \eqno{(\ref{eqn:rsn107})}$$

$$% latex2html id marker 2887 A(\Lambda_{uco}) \\ 　　　 \s... ...s \Lambda_{ucuo} \oplus \Lambda_{co} \eqno{(\ref{eqn:rsn111})}$$

について

$E_4=\left[{e_{n_1+n_2+n_3+1},…,e_n}\right]$

として

$$E_1\Gamma_{14}+E_2\Gamma_{24}+E_3\Gamma_{34}+E_4\Gamma_{44}=AE_4$$ (60)

を得ます.

以上をまとめれば

$$% latex2html id marker 2891 E_1\Gamma_{11}=　AE_１ \eqno{(\ref{eqn:rsn108})}$$

$$% latex2html id marker 2893 E_1\Gamma_{12}+E_2\Gamma_{22}=AE_2 \eqno{(\ref{eqn:rsn112})}$$

$$% latex2html id marker 2895 E_1\Gamma_{13}+E_3\Gamma_{33}=AE_3 \eqno{(\ref{eqn:rsn113})}$$

$$% latex2html id marker 2897 E_1\Gamma_{14}+E_2\Gamma_{24}+E_3\Gamma_{34}+E_4\Gamma_{44}=AE_4 \eqno{(\ref{eqn:rsn114})}$$

ここで

$S=\left[{E_1,E_2,E_3,E_4}\right]$

$$\Gamma= \left( \begin{array}{llll} \Gamma_{11} & \Gamma_... ...\ 0 & 0 & 0 & \Gamma_{44}\\ \end{array} \right)\\$$

とおくと

$s\Gamma=As$

$S=\left[{E_1,E_2,E_3,E_4}\right]$は基底ベクトルを並べたものですから
$\vert S\vert\neq 0$で逆行列$S^{-1}$が存在します.
左から$S$の逆行列$S^{-1}$をかければ
$S^{-1}AS=\Gamma$

$\left[{行列Bをスッキリさせる}\right]$

次に行列$B$の各列を列ベクトルと見なして $B=\left[{b_1，b_2，\cdots，b_ｍ}\right]$と書くと,

$G=\left[{A^{(n-1)}B,A^{(n-2)}B,\cdots,AB,B}\right]$

ですから

$$\Omega j = \left( \begin{array}{cccccc} 0\\ 0\\ 0\\ ... ... \cdot\\ \cdot\\ 0\\ 0\\ \end{array} \right) ｊ番目$$

とすると

$$b_j = G \Omega j$$

となり、各 $j$ について

$$b_j \in Im(G) = \Lambda_c$$

が判ります。 ここで

$$\Lambda_c= \Lambda_{cuo} (+) \Lambda_{co}$$ (61)

$$% latex2html id marker 2929 \Lambda_{co} = Span \{ e_{n_1+1},e_{n_1+2}, \cdots ,e_{n_1+n_2} \} \eqno{(\ref{eqn:rsn105})}$$

$$% latex2html id marker 2931 \Lambda_{cuo} = Span \{ e_1,e_2,e_3, \cdots ,e_{n_1} \} \eqno{(\ref{eqn:rsn104})}$$

$$\begin{eqnarray*} E_2 &=& \lbrack e_{n_1+1},e_{n_1+2}, \cdots ,e_{n_1+n_2} \rb... ... \\ E_1 &=& \lbrack e_1,e_2,e_3, \cdots ,e_{n_1} \rbrack \\ \end{eqnarray*}$$

でしたから行列 $A$ と全く同じ議論によって、

$$B = V_1E_1 + V_2E_2$$ (62)

と書くことができ、 　　　　　　　　　　

$$S= \lbrack E_1,E_2,E_3,E_4 \rbrack$$

$$V= \left \lbrack \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right \rbrack$$

とおくと

$$B=SV$$

$$S^{-1} B=V$$

が得られます。

$$M= \left \lbrack \begin{array}{c} C \\ CA \\ CA^2 \... ... \\ \cdot \\ CA^{n-1} \\ \end{array} \right \rbrack$$

で、

$$\Lambda_{uo} = \ker(M)= \{ \nu \in R^n \vert M \nu =0 \}$$ (63)

$$\Lambda_{uo} =Span \{ e_1,e_2,e_3, \cdots ,e_{n_1} \} (+) Span \{ e_{n_1+n_2+1},e_{n_1+n_2+2}, \cdots ,e_{n_1+n_2+n_3} \}$$

ですから

$$\begin{eqnarray*} && Me_1=0,Me_2=0,Me_3=0, \cdots ,Me_{n_1}=0 \\ && Me_{n_1+n_2+1}=0,Me_{n_1+n_2+2}=0, \cdots ,Me_{n_1+n_2+n_3}=0 \\ \end{eqnarray*}$$

です。従って、

$$\begin{eqnarray*} && Ce_1=0,Ce_2=0,Ce_3=0, \cdots ,Ce_{n_1}=0 \\ && Ce_{n_1+n_2+1}=0,Ce_{n_1+n_2+2}=0, \cdots ,Ce_{n_1+n_2+n_3}=0 \\ \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} E_1 &=& \lbrack e_1,e_2,e_3, \cdots ,en1 \rbrack \\ E_3 &... ..._{n_1+n_2+1},e_{n_1+n_2+2}, \cdots ,e_{n_1+n_2+n_3} \rbrack \\ \end{eqnarray*}$$

でしたから

$$\begin{eqnarray*} CE_1 &=& 0 \\ CE_3 &=& 0 \\ \end{eqnarray*}$$

これは

$$\begin{eqnarray*} CS &=& W \\ S &=& \lbrack E_1,E_2,E_3,E_4 \rbrack \\ \end{eqnarray*}$$

$$W= [ 0,W_2,0,W_4]$$

となることを示しています。 ------------ 以上をまとめると 「カルマンの分解」 系の方程式

$$% latex2html id marker 2937 \chi (k+1)=A \chi (k)+B \omega(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn21})}$$

$$% latex2html id marker 2939 \eta(k) = C \chi (k) \eqno{(\ref{eqn:rsn71})}$$

について $S= \lbrack E_1,E_2,E_3,E_4 \rbrack$ とう変換行列が存在して

$$\begin{eqnarray*} S^{-1} AS &=& \Gamma \\ S^{-1}B &=& V \\ CS &=& W \\ \end{eqnarray*}$$

$$\Gamma= \left \lbrack \begin{array}{cccc} \Gamma11 & \Gam... ... 0 & 0 & 0 & \Gamma_{44} \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$V= \left \lbrack \begin{array}{r} V_1 \\ V_2 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$W= [ 0,W_2,0,W_4]$$

という変換が可能なことが判りました。 系

$$% latex2html id marker 2943 \chi (k+1)=A \chi(k) + B \omega(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn21})}$$

$$% latex2html id marker 2945 \eta(k) = C \chi (k) \eqno{(\ref{eqn:rsn71})}$$

系

$$% latex2html id marker 2947 \chi'(k+1) = \Gamma \chi' (k) + V \omega(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn21}')}$$

$$% latex2html id marker 2949 \eta(k) = W \chi'(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn71}')}$$

の$D=0$ としています。 $\{ \chi(k),\eta(k) \}$ と $\{ \chi'(k) , \eta(k) \}$ の間には

$$S^{-1} AS= \Gamma$$

$$S^{-1} B=V$$

$$CS=W$$

によって

$$S \chi' (k) = \chi (k)$$

と相互に変換できます。系 $(\ref{eqn:rsn21}'),( \ref{eqn:rsn71}')$の挙動を調べれば、 系 $(\ref{eqn:rsn21}),( \ref{eqn:rsn71})$の挙動が判ることになります。 $\chi'(k)$ を $\Gamma$ 、$V$ の形に合せて

$$\chi'(k)= \left \lbrack \begin{array}{l} \chi'_{cuo}(k) \... ...uo}(k) \\ \chi'_{uco}(k) \\ \end{array} \right \rbrack$$

と分解します。 さらに $\chi'(k)$ の下半分に着目して

$$\chi '_{uc}(k)= \left \lbrack \begin{array}{l} \chi'_{ucuo}(k) \\ \chi'_{uco}(k) \\ \end{array} \right \rbrack$$

を造ると(1')，(2')から

$$\chi'_{uc}(k+1) = \Gamma_{uc} \chi'_{uc}(k) (1'u)$$

$$\Gamma uc= \left \lbrack \begin{array}{rr} \Gamma_{33} & ... ..._{34} \\ 0 & \Gamma_{44} \\ \end{array} \right \rbrack$$

という式が取り出せます。 $(1'u)$ の右辺には制御 $\omega(k)$ が作用する（作用させる）項がありません。 従って、$\chi'_{uc}(k)$ にはいくら努力して制御 $\omega(k)$ を投じても効果なし ということになります。箸にかからない。 次に

$$% latex2html id marker 2977 \eta(k) = W \chi'(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn71}')}$$

$$W= [ 0,W_2,0,W_4]$$

によって $\eta(k)$ が $\chi'(k)$ からでてくることになりますが

$$\eta(k)=W_2 \chi'_{co}(k)+W_4 \chi'_{uco}(k)$$

ですから、 $\chi'_{ucuo}(k)$ の項はでてきません。 $\chi'_{ucuo}(k)$ は出力 $\eta(k)$ から初期点の推測もできないわけです。 棒にもかからないわけです。　結局 $\chi'_{ucuo}(k)$ は箸にも棒にもかからない。
[練習問題13]

$$\chi'(k)= \left \lbrack \begin{array}{l} \chi'_{cuo}(k) \... ...uo}(k) \\ \chi'_{uco}(k) \\ \end{array} \right \rbrack$$

の各要素について、上と同様に説明してください。
[練習問題14]

$$% latex2html id marker 2991 E_1\Gamma_{12}+E_2\Gamma_{22}=AE_2 \eqno{(\ref{eqn:rsn112})}$$

$$% latex2html id marker 2993 E_1\Gamma_{13}+E_3\Gamma_{33}=AE_3 \eqno{(\ref{eqn:rsn113})}$$

$$% latex2html id marker 2995 E_1\Gamma_{14}+E_2\Gamma_{24}+E_3\Gamma_{34}+E_4\Gamma_{44}=AE_4 \eqno{(\ref{eqn:rsn114})}$$

を示して下さい。