行列の対角化

前節のお話を繰り返しますと.

$$x(n+1)=\alpha x(n)+\beta y(n)$$ (5)

$$y(n+1)=\gamma x(n)+\delta y(n)$$ (6)

という系について行列とベクトルを使えば,

$$A= \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$\chi(n)= \left \lbrack \begin{array}{c} x(n) \\ y(n) \\ \end{array} \right \rbrack$$

として $(\ref{eqn:rsn21}),( \ref{eqn:rsn22})$ は

$$\chi (n+1)=A \chi (n)$$ (7)

と表すことができました.

$$\chi(0)= \left \lbrack \begin{array}{c} x(0) \\ y(0) \\ \end{array} \right \rbrack$$

から始めて $(\ref{eqn:rsn23})$ 式から

$$\chi(n+1)=A \chi(n)= \; \; \cdots \; \; = A^{n+1} \chi(0)$$ (8)

となります. 前回は手始めに, $\beta =\gamma =0$ という特別な場合を考えました.

$$A= \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \delta \\ \end{array} \right \rbrack$$

ですから

$$A^n= \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha^n & 0 \\ 0 & \delta^n \\ \end{array} \right \rbrack$$

と簡単に $A^n$ が計算できたわけです.$\\$ さて,今度は, $\beta =\gamma =0$ とは限らない一般の場合を考えます. ここで

$$A= \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \\ \end{array} \right \rbrack$$

にある可逆な行列

$$V= \left \lbrack \begin{array}{cc} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2 \\ \end{array} \right \rbrack$$

とその逆行列 $V^{-1}$ を左右からかけて $V^{-1}AV$ という積を作り,これが

$$V^{-1} AV = \Gamma$$ (9)

$$\Gamma = \left \lbrack \begin{array}{cc} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \\ \end{array} \right \rbrack$$

となったとします.こんな $V$ はどうやって探すかという話しは取り合えず置いて, $V$ とその逆行列 $V^{-1}$ には

$$V V^{-1}= V^{-1} V=I$$

ただし,$I$ は単位行列

$$I = \left \lbrack \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right \rbrack$$

が成り立っていますから

$$\begin{eqnarray*} \Gamma^2 &=& \{ V^{-1} AV \} \{ V^{-1} AV \} \\ &=& V^{-1... ...=& V^{-1} AI AV \\ &=& V^{-1} AAV \\ &=& V^{-1} A^2 V \\ \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \Gamma^3 &=& \Gamma^2 \Gamma \\ &=& \{ V^{-1} A^2 V｝V^{-... ...{-1} A^2I AV \\ &=& V^{-1} A^2 AV \\ &=& V^{-1} A^3 V \\ \end{eqnarray*}$$

$$\vdots$$

$$\begin{eqnarray*} \Gamma^n &=& \Gamma^{n-1} \Gamma \\ &=& \{ V^{-1} A^{n-1}... ...1}I AV \\ &=& V^{-1} A^{n-1} AV \\ &=& V^{-1} A^n V \\ 　 \end{eqnarray*}$$

となります. ここで $\Gamma^n$ は

$$\Gamma^n = \left \lbrack \begin{array}{cc} \lambda^n & 0 \\ 0 & \mu^n \\ \end{array}\right \rbrack$$ (10)

と簡単に計算できます.

$$\Gamma^n = V^{-1} A^n V$$ (11)

ですから,両辺に左から $V$ ,右から $V^{-1}$ をかけると

$$V \Gamma^n V^{-1} = V \{ V^{-1} A^n V \} V^{-1}$$

$$= V V^{-1} A^n V V^{-1}$$

$$= IA^n I$$

$$= A^n$$ (12)

となります. $\Gamma^n$ から $A^n$ が簡単に計算できます.それで

$$% latex2html id marker 1831 V^{-1} AV = \Gamma \eqno{(\ref{eqn:rsn25})}$$

$$\begin{eqnarray*} \Gamma = \left \lbrack \begin{array}{cc} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \\ \end{array} \right \rbrack \end{eqnarray*}$$

となる行列Vを何とか探そうということにします. $(\ref{eqn:rsn25})$ 式の両辺に左からVをかけると

$$AV = V \Gamma$$ (13)

です. $V \Gamma$ を計算すると

$$V \Gamma = \begin{array}{cc} \left \lbrack \begin{array}{cc} v_1 & w_1 \\ v... ...in{array}{cc} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \\ \end{array}\right \rbrack \end{array}$$

$$= \left \lbrack \begin{array}{cc} \lambda v_1 & \mu w_1 \\ \lambda v_2 & \mu w_2\\ \end{array}\right \rbrack$$ (14)

行列 $V$ の縦に並んでいる要素をまとめて列ベクトル

$$v= \left \lbrack \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$w= \left \lbrack \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \\ \end{array} \right \rbrack$$

と書くと, $V= \lbrack v,w \rbrack$で, $(\ref{eqn:rsn210})$ 式は $V \Gamma = \lbrack \lambda v,\mu w \rbrack$ と書けます.すると

$$% latex2html id marker 1845 A V = V \Gamma \eqno{(\ref{eqn:rsn29})}$$

は,

$$A \lbrack v,w \rbrack = \lbrack \lambda v, \mu w \rbrack$$

でさらに左辺を計算すると

$$\lbrack Av,Aw \rbrack = \lbrack \lambda v ,\mu w \rbrack$$

両辺の１列目,２列目の列ベクトルは等しいはずですから

$$\begin{eqnarray*} Av &=& \lambda v \\ Aw &=& \mu w \\ \end{eqnarray*}$$

という式がでてきます.結局,

$$Ax = tx$$ (15)

という定数 $t$ と列ベクトル $x$ の組２組 $(\lambda,v),(\mu,w)$ を求める問題になりました. $(\ref{eqn:rsn211})$ 式の右辺は単位行列 $I$ を使って, $tx=tIx$ と書けますから, $(\ref{eqn:rsn211})$ 式の右辺を左辺に移項して,

$$(A-tI)x= \left \lbrack \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right \rbrack$$ (16)

となります. 実数の１次方程式 $ax=0$ の解は $a$ の逆数 $1/a$ があれば（これは $a \ne 0$ という条件ですが） $x=(1/a) \, 0=0$ だけです. 同様に,行列 $(A-tI)$ の逆行列 $(A-tI)^{-1}$ があると, $(\ref{eqn:rsn212})$ 式の両辺に左から $(A-tI)^{-1}$ をかけて,

$$x=(A-tI)^{-1}\left \lbrack \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right \rbrack$$

となって

$$x=\left \lbrack \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right \rbrack$$

だけが解になってしまいます.これでは目的の $V$ は求まりません. 大学１年次の線形代数の講義を思い出して頂くと, $(A-tI)$ が 逆行列を持たない条件は, それの行列式について

$$\vert(A-tI)\vert=0$$

でした.実際,これを計算すると,

$$\begin{eqnarray*} A-tI &=& \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha & \bet... ... 　 \gamma & \delta-t \\ \end{array} \right \rbrack \\ \end{eqnarray*}$$

から　行列式＝（左上×右下）−（右上×左下）によって

$$0=\vert(A-tI)\vert= ( \alpha-t)(\delta-t)- \beta \gamma$$ (17)

で $t$ についての２次の代数方程式がでてきます. まず $(\ref{eqn:rsn213})$ 式が異なる,２つの実数根を持つ場合について考えます. この場合,$t=\lambda,\mu$ になるわけです.これに対応するベクトル $v$ と $w$ を求めるには, $(\ref{eqn:rsn211})$ 式から

$$\begin{eqnarray*} v &=& \left \lbrack \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ ... ...ray}{c} w_1 \\ w_2 \\ \end{array} \right \rbrack \\ \end{eqnarray*}$$

について

$$Av = \lambda v$$ (18)

$$Aw = \mu w$$ (19)

として,$v,w$ を求めることになります.

$$\begin{eqnarray*} && \vert(A- \lambda I)\vert=0 \\ && \vert(A- \mu I)\vert=0 \\ \end{eqnarray*}$$

が成り立っていますから, $(\ref{eqn:rsn214}),(\ref{eqn:rsn215})$ は解は一意には決まりません. たとえば $v_1=1,w_1=1$などとすると,$v_2,w_2$ が決まります.

1. [ 練習問題 ２] $\\$
   
   $$A= \left \lbrack \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 3 \\ \end{array} \right \rbrack$$
   
   
   とするとき,上の議論によって,$V$ と $A$ の対角化 $\Gamma$ を求めてください.