ジョルダン標準形

$$% latex2html id marker 1911 \chi (n+1)=A \chi(n) \eqno{(\ref{eqn:rsn3})}$$

$$\begin{eqnarray*} A &=& \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha & \beta ... ...{array}{c} x(n) \\ y(n) \\ \end{array} \right \rbrack \end{eqnarray*}$$

で表される系についての議論でした. (3)式から

$$% latex2html id marker 1913 \chi(n) = A^{n} \chi(0) \eqno{(\ref{eqn:rsn4})}$$

となりますが, $A^{n}$ をどう計算するかということになり, 行列 $A$ の対角化の話になりました. $A$ にある行列 $V$ とその逆行列 $V^{-1}$ を左右からかけて, $V^{-1}AV$ という積を作り,これが

$$% latex2html id marker 1927 V^{-1} AV= \Gamma \eqno{(\ref{eqn:rsn25})}$$

$$\begin{eqnarray*} \Gamma = \left \lbrack \begin{array}{cc} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \\ \end{array} \right \rbrack \end{eqnarray*}$$

となったとすると（これを $A$ の対角化と言います）

$$\Gamma^n = \left \lbrack \begin{array}{cc} \lambda^n & 0 \\ 0 & \mu^n \\ \end{array}\right \rbrack$$ (20)

で,

$$V \Gamma^n V^{-1} = A^n$$ (21)

となります. このような $V$ を求めるために, $A$ の固有値と固有ベクトルを求める問題

$$% latex2html id marker 1935 \ Ax=tx \eqno{(\ref{eqn:rsn211})}$$

を考えました. 行列式による固有値 $t$ についての２次方程式（これを固有方程式）

$$% latex2html id marker 1939 \ \vert(A-tI)\vert=( \alpha -t)( \delta -t)- \beta \gamma = 0 \eqno{(\ref{eqn:rsn213})}$$

に２つの異なる実数根 $\lambda,\mu$ がある場合を扱いました. 今度はこの場合以外を考えます.

（a）

　 まず,方程式(8)が共役複素数根 $\lambda = a + bi, \mu =a-bi(b \ne 0)$ をもつ場合. この場合は,２つの異なる実数根 $\lambda,\mu$ がある場合と同じですが,行列 $V$ の要素が複素数になります.また $A$ を対角化した行列 $\Gamma$ も要素が複素数になります. 実数で表される系（３）式の話しに複素数？ と不思議に思われるかもしれませんが,実数の要素だけの行列 $A$ と要素が複素数の行列 $V,\Gamma$は

$$% latex2html id marker 1957 \ V^{-1} AV= \Gamma \eqno{(\ref{eqn:rsn25})}$$

で関係付けられていて,「帳尻」はあっています. 練習問題３

$$A= \left \lbrack \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right \rbrack$$

について,上の式を確認してください.$V,\Gamma$ を求めてください.

（b）

　 方程式(8)が重根 $t=a$ をもつ場合.この場合はAがもとから対角線上にaが並ぶ対角行列である場合と、そうでない場合に分けられます。後者の場合対角化はできませんが,ある $V$ という行列で

$$% latex2html id marker 1965 \ V^{-1} AV = \Gamma \eqno{(\ref{eqn:rsn25})}$$

$$\Gamma= \left \lbrack \begin{array}{cc} a & 1 \\ 0 & a \\ \end{array} \right \rbrack$$

の形への変換が可能です.（これをジョルダン標準形といいます） 練習問題４

$$\begin{eqnarray*} A &=& \left \lbrack \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 &... ...} 1 & 0 \\ -1 & -1 \\ \end{array} \right \rbrack \\ \end{eqnarray*}$$

について,上の式を確認してください.この場合 $\Gamma^n$ はどうなるでしょうか.