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: 状態方程式 : Dsys : ジョルダン標準形

同値変換の系

さて,系

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 1969
\ \chi (n+1) = A \chi(n) \eqno{(\ref{eqn:rsn3})} \end{displaymath}

$V$ による $A$ の変換

\begin{displaymath}V^{-1} A V = \Gamma \end{displaymath}

に着目します. ここで

\begin{displaymath}\kappa(n) = V^{-1} \chi(n) \end{displaymath}

とおくと

\begin{displaymath}\chi(n) = V \kappa(n) \end{displaymath}

\begin{eqnarray*}
\kappa (n+1) &=& V^{-1} \chi(n+1) \\
&=& V^{-1} A \chi(n) \\
&=& V^{-1} A V \kappa(n) \\
&=& \Gamma \kappa(n) \\
\end{eqnarray*}



となります. (3)式から

\begin{displaymath}V^{-1} A V = \Gamma \end{displaymath}


\begin{displaymath}\kappa(n) = V^{-1} \chi(n) \end{displaymath}

により

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 1975
\kappa (n+1) = \Gamma \kappa(n) \eqno{(\ref{eqn:rsn3}')} \end{displaymath}

という式が出てきました. これは初期値

\begin{displaymath}\kappa(0) = V^{-1} \chi(0) \end{displaymath}

が与えられた(3)式の系と同値な系と呼ばれます. $\Gamma$$A$ がその固有方程式 $ \vert A-tI\vert=0 $ が共役複素数解も含めて 異なる2根 $\lambda,\mu$ を持てば

\begin{displaymath}\Gamma =
\left \lbrack
\begin{array}{cc}
\lambda & 0 \\
0 & \mu \\
\end{array}
\right \rbrack
\end{displaymath}

であり,

\begin{displaymath}\Gamma^n =
\left \lbrack
\begin{array}{cc}
\lambda^n & 0 \\
0 & \mu^n \\
\end{array}
\right \rbrack
\end{displaymath}

です.また,$ \vert A-tI\vert=0 $ が重根 $\lambda$ を持てば,Aはもとから対角線上にλが並ぶ対角行列か,あるいはジョルダン標準形

\begin{displaymath}\Gamma=
\left \lbrack
\begin{array}{cc}
\lambda & 1 \\
0 & \lambda \\
\end{array}
\right \rbrack
\end{displaymath}

の形になり

\begin{displaymath}\Gamma^n=
\left \lbrack
\begin{array}{cc}
\lambda^n & n...
...^{n-1} \\
0 & \lambda^n \\
\end{array}
\right \rbrack
\end{displaymath}

で与えられます. 練習問題5

\begin{displaymath}\kappa(n) = \Gamma^n \kappa(0) = \Gamma^n \{ V^{-1}\chi(0) \} \end{displaymath}

であることに注目してください. 固有方程式 $ \vert A-tI\vert=0 $ の全ての根 $\lambda$$ \vert \lambda \vert<1 $ を満たすと, $ n \rightarrow \infty $$\kappa(n)$ はどうなるでしょうか? また $\chi(n)$ はどうなるでしょうか?
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Yasunari SHIDAMA