状態方程式

$$% latex2html id marker 2001 \ \chi (n+1) = A \chi(n) \eqno{(\ref{eqn:rsn3})}$$

$$\begin{eqnarray*} A &=& \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha & \beta ... ...{array}{c} x(n) \\ y(n) \\ \end{array} \right \rbrack \end{eqnarray*}$$

という系の議論でした. (3)式から

$$% latex2html id marker 2003 \chi(n) = A^{n} \chi(0) \eqno{(\ref{eqn:rsn4})}$$

が得られますが,固有方程式 $\vert A-tI\vert=0$ の全ての根 $\lambda$ が $\vert \lambda \vert<1$ を満たすと, $n \rightarrow \infty \vert\chi(n)\vert \rightarrow 0$ などの性質が判りました. 今度は(3)式に $\omega(k)$ で表現される外部からの強制力が加わった系を考えます.ついでに式を一般化しておきます.今まで $n$ で時間の経過を表す変数にしましたが,これを $k$ に変えます. $\chi(k)$ を２次元の列ベクトルから,$n$ 次元の列ベクトルへ,$A$ は $n$ 行 $n$ 列の行列. 新たに加わった $\omega(k)はm$ 次元の列ベクトルにします.ただし,$(m \le n)$ $B$ は $n$ 行 $m$ 列の行列です.

$$% latex2html id marker 2039 \chi (k+1)=A \chi(k) + B \omega(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn21})}$$

$$\chi(k)= \left \lbrack \begin{array}{c} x_1(k) \\ x_2(... ...t \\ \cdot \\ x_n(k) \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$\omega(k)= \left \lbrack \begin{array}{c} \omega_1(k) \\... ... \cdot \\ \omega_m(k) \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$A= \left \lbrack \begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \c... ...& A_{n2} & \cdots & A_{nn} \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$B= \left \lbrack \begin{array}{cccc} B_{11} & B_{12} & \c... ...& B_{n2} & \cdots & B_{nm} \\ \end{array} \right \rbrack$$

新たに加わった外部からの強制力は,人間の意図的な「努力」などを表します. 最初,このお話は草原にいる狼と,ウサギの個体数から出発しましたが, ウサギや狼の頭数を調整したりする「保護活動」の努力を表すこともあるでしょう. あるいは,保護と正反対な乱獲や環境破壊かもしれません. 無論,このような方程式は,生態系に限らず,物理系,機械系,社会経済,etcにも現れます.社会経済なら,各年度の政府の経済政策や税制政索を $\omega(k)$ が表すかもしれません. マイホーム獲得向けての毎年の財形計画や,お子さんの進学のための教育投資や計画かもしれません. 工学では $\omega$ は「制御変数」と呼ばれ $\chi$ はその時の系の何かの様子を表すので「状態変数」と呼ばれます. 用語の説明は,制御工学やシステム工学の専門書などにお願いするとして, $\omega(0),\omega(1),\omega(2), \\ \cdots,\omega(k) \cdots$ と意図的な外力（制御）を加えていくと,$\chi(0)$ から始まる $\chi(1),\chi(2), \cdots,\chi(k) \cdots$ はどうなるか調べてみます. まず(5)式から

$$\chi(1) = A \chi(0) + B \omega(0)$$

です.次にこれと(5)式から

$$\begin{eqnarray*} \chi(2) &=& A \chi(1) + B \omega(1) \\ &=& A \{ A \chi(0)... ...omega(1) \\ &=& A^2 \chi(0) + AB \omega(0) + B \omega(1) \\ \end{eqnarray*}$$

さらに

$$\begin{eqnarray*} \chi(3) &=& A \chi(2) + B \omega(2) \\ &=& A \{ A^2 \chi(... ... A^3 \chi(0) + A^2 B \omega(0) + AB \omega(1) + B \omega(2) \\ \end{eqnarray*}$$

$$\vdots$$

$$\vdots$$

$$\begin{eqnarray*} \chi(k) &=& A^k \chi(0) + A^{k-1} B \omega(0) + A^{k-2} B \o... ... &=& A^k \chi(0) + \sum_{i=0}^{k-1} A^{k-1-i} B \omega(i)\\ \end{eqnarray*}$$

結局

$$\chi(k) = A^k \chi(0) + \sum_{i=0}^{k-1} A^{k-1-i} B \omega(i)$$ (22)

$\Sigma$ 記号の中の式では $A$ のべき乗の指数と $\omega$ の括弧の中の数字が,その和が $k-1$ となるように変化しています.このような演算は畳み込み演算と呼ばれます. いまは $\chi(0)$ から $\chi(k)$ へと計算しましたが, $\chi(s)$ から始めて $\chi(k)$ までなら

$$\chi(k) = A^{k-s} \chi(s)+ \sum_{i=s}^{k-1} A^{k-1-i} B \omega(i)$$ (23)

となります.