可制御性

$k=s$ から $k=s+n-1$ まで(5)式の系に何らかの $n$ 個の制御量 $\omega(s),\omega(s+1),\omega(s+2),\cdots,\omega(s+n-1)$ を加えて任意の $\chi(s)$ から出発して $\chi(s+1),\chi(s+2),\cdots \chi(s+n)$ と変化させ,最後の $\chi(s+n)$ がある目標の $\chi_f$ と等しくなるようにできるかどうかを考えます.これが可能な場合,系(3)は「可制御」であるといいます. 状態変数のベクトルの次元数 $n$ と同じ数の $n$ 個必要です. 政府の $n$ ヵ年計画が成功するかどうかとか, $n$ 年後に目的を達成するような,政策立案が可能かといった問題です.あるいは,お子様への $n$ ヵ年教育計画で,目標の学校受験のための学力向上の努力かもしれません. 結果は同じですので $s=0$ とします.(23)式の $k$ に $n$ を入れると

$$\chi(n) = A^n \chi(0) + \sum_{i=0}^{n-1} A^{n-1-i} B \omega(i)$$

$\chi(n) = \chi_f$ となるようにしたいわけで,また最初の $\chi(0)$ は変えることができませんから,

$$\sum_{i=0}^{n-1} A^{n-1-i} B \omega(i) = \chi_f - A^{n} \chi(0)$$ (24)

となります. この式を満足する $\omega(0),\omega(1),\omega(2),\cdots,\omega(n-1)$ があるか？　という問題です. $\omega(0),\omega(1),\omega(2),\cdots,\omega(n-1)$ はそれぞれ $m$ 次元の列ベクトルですが,これを縦に並べて

$$\Omega= \left \lbrack \begin{array}{c} \omega(0) \\ \o... ... \cdot \\ \omega(n-1) \\ \end{array} \right \rbrack$$

という $mn$ 次元の列ベクトルを作り, $n$ 個の $n$ 行 $m$ 列の $A^{n-1} B , A^{n-2} B,\cdots,AB , B$ を横に並べて $G= \lbrack A^{n-1} B, A^{n-2} B,\cdots, AB ,B \rbrack$ という $n$ 行 $mn$ 列の行列を作ると, (8)式は

$$G \Omega = \chi_f- A^{n} \chi(0)$$ (25)

という方程式です.未知数のベクトルが $\Omega$ で寸法が $mn$ ,係数の行列 $G$ が $n$ 行 $mn$ 列で, $\Omega$ のうち $mn-n$ 個分だけ自由度があります.この方程式が解を持つためには 「 $Ｇ$ の階数が $n$ 」という条件　(　$G$ の $n$ 行 $n$ 列の正方な部分行列のどれかの行列式の 値が $\ne 0$ ) ということが条件です. これを

$$Rank(G)=n$$

と書きます.すなわち

$$(5)の系が可制御 \Longleftrightarrow Rank(G)=n$$

ここでは,判りやすくするために $B$ を $n$ 行１列の行列,つまり,$m$ 次元の列ベクトル $b$ としてみます.この場合,$\omega(k)$ はベクトルではなく数になります. (１次元列ベクトルですから)

$$% latex2html id marker 2163 \chi (k+1)=A \chi(k) + B \omega(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn21})}$$

すると

$$G= \lbrack A^{n-1} b , A^{n-2} b,\cdots, Ab , b \rbrack$$

は $n$ 行 $n$ 列の正方行列になります. すると(25)を満足するための $\Omega$ があるためには, $G$ の行列式 $\ne 0$ です. 即ち

$$(5)の系が可制御 \Longleftrightarrow Rank(G) = n \Longleftrightarrow G の行列式 \ne 0$$

練習問題６

$$\chi (k+1) = A \chi(k) + b \omega(k)$$

$$A= \left \lbrack \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$b= \left \lbrack \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right \rbrack$$

について可制御性を判定してください. この場合は $n=2$ です.