可観測性

今までのお話は

$$% latex2html id marker 2177 \chi (k+1)=A \chi(k) + B \omega(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn21})}$$

$$\chi(k) = \left \lbrack \begin{array}{c} x_1(k) \\ x_2... ...ot \\ \cdot \\ x_n(k) \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$\omega(k)= \left \lbrack \begin{array}{c} \omega_1(k) \\ ... ... \cdot \\ \omega_m(k) \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$A= \left \lbrack \begin{array}{cccc} A_{1,1} & A_{1,2} & ... ... A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$B= \left \lbrack \begin{array}{cccc} B_{1,1} & B_{1,2} & ... ... B_{n,2} & \cdots & B_{n,m} \\ \end{array} \right \rbrack$$

のお話で, $\omega(s),\omega(s+1),\omega(s+2),\cdots,\omega(k) \cdots$ と意図的な外力（制御）を加えていくと, $\chi(s)$ から始まる $\\ \chi(s+1),\chi(s+2),\cdots,\chi(k) \cdots$ はどうなるか調べてみました. 結局

$$% latex2html id marker 2185 \chi(k) = A^{k-s} \chi(s) + \sum_{i=s}^{k-1} A^{k-1-i} B \omega(i) \eqno{(\ref{eqn:rsn52})}$$

となります. $k=s$ から $k=s+n-1$ まで(5)式の系に何らかの $n$ 個の制御量 $\omega(s),\omega(s+1),\omega(s+2),\cdots,\omega(s+n-1)$ を加えて任意の $\chi(s)$ から出発して $\chi(s+1),\chi(s+2),\cdots \chi(s+n)$ と変化させ,最後の $\chi(s+n)$ がある目標 の $\chi_f$ と等しくなるようにできるかどうかを考えます.これが可能な場合,系(5)は「可制御」であるといいます.このための条件は

$$(5)の系が可制御 \Longleftrightarrow Rank(G)=n$$

$$G= \lbrack A^{n-1} B,A^{n-2} B,\cdots,AB,B \rbrack$$

でした. ここで $Rank(G)=n$ すなわち「 $G$ の階数が $n$ 」という条件は $G$ の $n$ 行 $n$ 列の正方な部分行列のどれかの行列式の 値が $\ne 0$ ということが条件でした. さて(5）式の系に

$$\eta(k) = C \chi(k) + D \omega(k)$$ (26)

という式を加えます. $\eta(k)$ は $p$ 次の列ベクトル, $C,D$ はそれぞれ $p$ 行 $n$ 列の行列, $p$ 行 $m$ 列の行列です.

$$C= \left \lbrack \begin{array}{cccc} C_{1,1} & C_{1,2} & ... ... C_{p,2} & \cdots & C_{p,n} \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$D= \left \lbrack \begin{array}{cccc} D_{1,1} & D_{1,2} & ... ... D_{p,2} & \cdots & D_{p,m} \\ \end{array} \right \rbrack$$

$\chi(k)$ が系の状態変数と呼ばれるのに対して,$\eta(k)$ は系の出力と呼ばれます.

$$% latex2html id marker 2235 \chi (k+1)=A \chi(k) + B \omega(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn21})}$$

$$% latex2html id marker 2237 \eta(k) = C \chi(k) + D \omega(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn71})}$$

を時不変な離散時間線形システムの状態方程式と呼びます. 「時不変」というのは,係数行列 $A,B,C,D$ が時間に（ $k$ に） 依存しない定数行列だからです.「線形」というのは(5),(26)が $\chi(k),\omega(k)$ について線形（係数行列 $A,B,C,D$ がそれぞれ 掛け合わされ,加えられている）という意味です. $\chi(k)$ をお子様の学力, $\omega(k)$ を進学準備のための教育の投資・努力に例えましたが, $\chi(k)$ が学力の要素「計算能力」「読解力」「論理思考能力」etcなどを表し, $\eta(k)$ は学期末テストの（総合）得点などに例えられます. 教育の投資・努力 $\omega(k)$ によって変化するのは学力 $\chi(k)$ ですが,これが目に見えて確認できる（観測できる）のは学期末テストの（総合）得点などの $\eta(k)$ で, $\omega(k)$ は学力 $\chi(k)$ を経由して $C$ という行列によって間接的に $\eta(k)$ をもたらしていることになります.無論 $D \omega(k)$ のように直接 $\eta(k)$ に影響する項もありますが.

［親子の会話］

教育ママ（または教育パパ）

「ＸＸＸ君,ちっとも成績良くならないね！！勉強してるの？」 ＝「 $\eta(n)$ が上がらないね, $\omega(0), \cdots \omega(n-1)$ は？」

覚めた子供

「そんなこと言ったって,ちゃんと勉強（努力）してきたよ.でもパパ達の子供 だものしょうがないでしょ」 　 ＝「 $\omega(0), \cdots \omega(n-1)$ はちゃんと与えた,そもそも初期点 $\chi(0)$ が悪い.」

家庭内の会話は兎も角： $A,B,C,D$ と $\eta(0),\eta(1),\cdots,\eta(n-1),\omega(0),\dots \omega(n-1)$ から $\chi(0)$ を決定する にはどのような条件が必要でしょうか？ $C$ が正方行列で逆行列 $C^{-1}$ があれば $\eta(0) = C \chi(0) + D \omega(0)$ から

$$\chi(0) = C^{-1} \{ \eta(0) - D \omega(0) \}$$

で直ぐに判るのですが, $C$ は一般には,そうではありません. $C = \lbrack 1,1,1, \cdots 1 \rbrack$ という横ベクトルで $C \chi(k)$ がその $\chi(k)$ の成分の総和 ( $\chi(k)$ が $k$ 年後の[国語,数学,英語,物理,化学,生物]の学力,$C \chi(k)$ が総合得点 ということもあるでしょう.） テストの得点は基礎学力の投影であっても,それだけで,基礎学力を正確に知ることは出来ません. これには(5),(26)を再度見てみる必要があります.

$$\eta(0) = C \chi(0) + D \omega(0)$$

次に

$$\eta(1) = C \chi(1) + D \omega(1)$$

で,

$$\chi(1) = A \chi(0) + B \omega(0)$$

でしたから

$$\eta(1) = CA \chi(0) + CB \omega(0) + D \omega(1)$$

同様に

$$\eta(2) = C \chi(2) + D \omega(2)$$

で

$$\chi(2) = A^2 \chi(0) + AB \omega(0) + B \omega(1)$$

でしたから

$$\eta(2) = C A^2 \chi(0) + CAB \omega(0) + C B \omega(1) + D \omega(2)$$

さらに

$$\eta(3) = C \chi(3) + D \omega(3)$$

で

$$\chi(3) = A^3 \chi(0) + A^2 B \omega(0) + AB \omega(1) + B \omega(2)$$

でしたから

$$\eta(3) = C A^3 \chi(0) + C A^2 B \omega(0) + CAB \omega(1) + CB \omega(2) + D \omega(3)$$

この操作を繰り返せば,

$$\eta(k) = C A^k \chi(0) + \sum_{i=0}^{k-1} C A^{k-1-i} B \omega(i) + D \omega (k)$$

結局

$$\rho(k)= \sum_{i=0}^{k-1} C A^{n-1-i} B \omega(i) + D \omega(k)$$

とおくと　

$$\begin{eqnarray*} \eta(0) &=& C \chi(0) + \rho(0) \\ \eta(1) &=& CA \chi(0)... ...\vdots & \\ \eta(n-1) &=& C A^{n-1} \chi(0) + \rho (n-1) \\ \end{eqnarray*}$$

を得て,これを見やすいように変形して

$$C \chi(0) = \eta(0)-\rho(0)$$

$$CA \chi(0) = \eta(1)-\rho(1)$$

$$C A^2 \chi(0) = \eta(2)-\rho(2)$$

$$C A^3 \chi(0) = \eta(3)-\rho(3)$$

$$\vdots $$

$$C A^{n-1} \chi(0) = \eta(n-1)-\rho(n-1)$$ (27)

ここで $A,B,C,D$ と $\eta(0),\eta(1),\cdots ,\eta(n-1),\omega(0), \cdots \omega(n-1)$ が全て 判っていますから $\rho(0),\rho(1), \cdots ,\rho(n-1)$ も既知な量です. $n$ 個の $p$ 行 $n$ 列の行列 $C,CA,CA^2,CA^3,\cdots ,CA^{n-1}$ を縦に並べ $np$ 行 $n$ 列の行列

$$M= \left \lbrack \begin{array}{c} C \\ CA \\ CA^2 \... ... \\ \cdot \\ CA^{n-1} \\ \end{array} \right \rbrack$$

と $np$ 次の列ベクトル

$$P= \left \lbrack \begin{array}{c} \eta(0)-\rho(0) \\ \... ...s \\ \eta(n-1)-\rho(n-1) \\ \end{array} \right \rbrack$$

を作ると(27)式は

$$M \chi(0)=P$$ (28)

となります. 方程式(28)が解を持つ条件は

$$rank (M) = n$$

です. $A,B,C,D$ と $\eta(0),\eta(1),\cdots ,\eta(n-1),\omega(0), \cdots \omega(n-1)$ から $\chi(0)$ を決定できる場合,この系は可観測であるといいます. 特に $C$ が１次の横ベクトルの場合（この場合,出力 $\eta(k)$ はベクトルでなく数）は,この条件は $M$ の行列式 $\ne 0$ と同値です.　 今までの議論をまとめると 時不変な離散時間線形システムの状態方程式

$$\chi(k+1) = A \chi(k) + B \omega(k)$$

$$\eta(k) = C \chi(k) + D \omega(k)$$

について

$$この系が可制御 \Longleftrightarrow Rank(G)=n$$

ただし,

$$G= \lbrack A^{n-1} B,A^{n-2} B,\cdots,AB,B \rbrack$$

$$この系が可観測 \Longleftrightarrow Rank(M)=n$$

ただし,

$$M= \left \lbrack \begin{array}{c} C \\ CA \\ CA^2 \... ... \\ \cdot \\ CA^{n-1} \\ \end{array} \right \rbrack$$

練習問題7

$$\chi(k+1) = A \chi(k) + B \omega(k)$$

$$\eta(k) = C \chi(k) + D \omega(k)$$

$$A= \left \lbrack \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$C = \lbrack 1,1 \rbrack$$

$B,D$ も適当な行列とします. この系の可観測性を判定してください. この場合は $n=2$ です.