ケーリー・ハミルトンの定理

資源の「リサイクル」は今日的課題ですが,この節では,行列の「リサイクル」の話 をします. これは次節のお話の準備です. 行列 $A$ の固有値を求め, $A$ の対角化を行いましたが,そのとき用いた 特性方程式

$$\vert A - \lambda I \vert = 0$$

については,他の性質も知られています. $A$ が $n$ 次の正方行列なら $\vert A ー \lambda I\vert$ は $\lambda$ についての最高次が $n$ 次の多項式になります.すなわち

$$\vert A - \lambda I\vert = \lambda^n + a _{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0~~~~~~$$ (29)

例

$$A= \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \\ \end{array} \right \rbrack$$

なら

$$A- \lambda I= \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha-\l... ... \gamma & \delta-\lambda \\ \end{array} \right \rbrack$$

で

$$\vert A- \lambda I\vert = (\alpha - \lambda)(\delta - \lam... ...- (\alpha + \delta) \lambda + \alpha \delta - \beta \gamma$$ (30)

です. ここで(29)の $\lambda$ の替わりに $A$ を使った行列の式も

$$% latex2html id marker 2363 A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots + a_1 A + a_0 I = {\bf0} \eqno{(\ref{eqn:rsn81}')}$$

を充たします. ${\bf0}$ は要素が全て $0$ の行列です.$I$ は単位行列です. これをケイリー・ハミルトンの定理といいます. 実際,(30)のついて $\lambda$ の替わりに $A$ を使った式を調べると

$$% latex2html id marker 2375 A^2 - (\alpha + \delta) A + (\a... ...0 \\ \end{array} \right \rbrack \eqno{(\ref{eqn:rsn82}')}$$

練習問題8　(30')を確認してください. 以下この定理を証明します. [ケーリー・ハミルトンの定理の証明] [準備：余因子行列] 大学の１年次か高校時代,行列の逆行列の話と一緒に,余因子行列を習ったと思います.

$$S= \left \lbrack \begin{array}{cccc} S_{1,1} & S_{1,2}... ...n,2} & \cdots & S_{n,n} \\ \end{array} \right \rbrack$$ (31)

について $S$ の余因子行列 $D$ は

$$D= \left \lbrack \begin{array}{cccc} D_{1,1} & D_{2,1}... ...2,n} & \cdots & D_{n,n} \\ \end{array} \right \rbrack$$ (32)

$D_{ij}$ は $S$ の第 $j$ 行と第 $i$ 列の要素を除いた $(n-1)$ 行 $(n-1)$ 列の部分行列式 $\times (-1)^{(i+j)}$ です. 例えば $D_{21}$ は $S$ の第２行と第１列の要素を除いた $(n-1)$ 行 $(n-1)$ 列の部分行列

$$\left \lbrack \begin{array}{ccc} S_{1,2} & \cdots & S_... ...n,2} & \cdots & S_{n,n} \\ \end{array} \right \rbrack$$ (33)

の行列式 $\times (-1)$ です. 例

$$A= \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \\ \end{array} \right \rbrack$$

なら $A$ の余因子行列 $B$ は

$$B= \left \lbrack \begin{array}{cc} \delta & -\beta \\ -\gamma & \alpha \\ \end{array} \right \rbrack$$

さて, $S$ と $S$ の余因子行列 $D$ との積には

$$SD = \vert S\vert I$$

という関係があります. $\vert S\vert$ は $S$ の行列式, $I$ は単位行列です.





練習問題9　上の, $A$ と $B$ の例について確認してください. [定理の証明] 行列 $A- \lambda I$ の余因子行列を $C$ とします. このとき $C$ の $i$ 行 $j$ 列の要素は $A- \lambda I$ の第 $j$ 行と第 $i$ 列の要素を除いた $(n-1)$ 行 $(n-1)$ 列の部分行列式 $\times (-1)^{(i+j)}$ ですので $\lambda$ についての最高次数 $(n‐1)$ 次式です. これが $1≦i,j≦n$ つ いて成立っていますから, $\lambda$ の各次数ごとに整理すると

$$C = \lambda^{n-1} C_{n-1}+ \cdots + \lambda C_1 + C_0$$ (34)

となります. [例]

$$A- \lambda I= \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha-\l... ... \gamma & \delta-\lambda \\ \end{array} \right \rbrack$$

の例では,これの余因子行列 $C$ は

$$C= \left \lbrack \begin{array}{cc} \delta -\lambda & -\be... ... -\gamma & \alpha -\lambda \\ \end{array} \right \rbrack$$

で

$$C_1= \left \lbrack \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right \rbrack$$

$$C_0= \left \lbrack \begin{array}{cc} \delta & -\beta \\ -\gamma & \alpha \\ \end{array} \right \rbrack$$

とおくと

$$C = \lambda C_1 + C_0$$

[例終わり]
さて,行列とその余因子列の積＝行列式ですから

$$(A - \lambda I) C = \vert A- \lambda I\vert I$$

これに(29)式

$$\vert A - \lambda I \vert = \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0$$

(34)式

$$C = \lambda^{n-1} C_{n-1}+ \cdots + \lambda C_1 + C_0$$

を代入すると

$${ (A- \lambda I ) \{ \lambda^{n-1} C_{n-1} + \cdots + \lambda C_1+C_0 \}}$$

$$= \{ \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots +a_1 \lambda +a_0 \} I$$ (35)

(35)式の両辺の $\lambda$ の次数を比較して,

$$-C_{n-1} = I$$ (36)

$$AC_{n-1}-C_{n-2} = a_{n-1}I$$ (37)

$$AC_{n-2}-C_{n-3} = a_{n-2}I$$ (38)

$$AC_{n-3}-C_{n-4} = a_{n-3}I$$

$$\vdots $$

$$AC_1 -C_0 = a_1I$$ (39)

$$AC_0 = a_0I$$ (40)

$$\begin{eqnarray*} && (36)式の両辺にA^nを \\ && (37)式の両辺にA^{n-1}を \\ ... ...9)式の両辺にAを \\ && (40)式の両辺にIを掛け,辺々加えると,\\ \end{eqnarray*}$$

$$0 = A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots + a_1A+a_0I$$

[証明終わり] この定理から,

$$A^n = -a_{n-1} A^{n-1} - \cdots - a_1A-a_0I$$

であり, $A^n$ は $A^{n-1},\cdots , A,I$ から計算できます.すると,結局, $A$ の $n$ 以上のべき乗は, $A^{n-1},\cdots , A,I$ から計算できることが判ります. 練習問題10

$$A= \left \lbrack \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \\ \end{array} \right \rbrack$$

について,証明の議論をやってみてください.