不変部分空間

まず今までのお話のおさらいをします. 時不変な離散時間線形システムの状態方程式

$$% latex2html id marker 2469 \chi (k+1)=A \chi(k) + B \omega(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn21})}$$

$$% latex2html id marker 2471 \eta(k) = C \chi(k) + D \omega(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn71})}$$

について調べてきました. 初期点 $\chi(0)$ から $k=0$ から $k=n-1$ まで(5)式の系に何らかの $n$ 個の制御量 $\omega(0),\omega(1),\omega(2),\cdots,\omega(n-1)$ を加えた場合 $\chi(n)$ は

$$\chi(n) = A^{n} \chi(0) + \sum_{i=0}^{n-1} A^{n-1-i} B \omega(i)$$ (41)

となります. $k=0$ から $k=n-1$ まで(5),(26)式の系に何らかの $n$ 個の制御量 $\omega(0),\omega(1),\omega(2),\cdots,\omega(n-1)$ を加えて 任意の $\chi(0)$ から出発して $\chi(1),\chi(2), \cdots ,\chi(n)$ と変化させ, 最後の $\chi(n)$ がある目標の $\chi_f$ と等しく なるようにできる場合,系(5),(26)は「(完全)可制御」であるといいます.このための条件は

$$(5),(26)の系が可制御 \Longleftrightarrow Rank(G)=n$$

$$G= \lbrack A^{n-1} B,A^{n-2} B,\cdots,AB,B \rbrack$$

でした. また, $A,B,C,D$ と $\eta(0),\eta(1)\cdots ,\eta(n-1),\omega(0), \cdots, \omega(n-1)$ から $\chi(0)$ を決定することができるというのが可観測性でした.

$$この系が可観測 \Longleftrightarrow Rank(M)=n$$

ただし,

$$M= \left \lbrack \begin{array}{l} C \\ CA \\ CA^2 ... ...\; \; \cdot \\ CA^{n-1} \\ \end{array} \right \rbrack$$

でした. [ケーリー・ハミルトンの定理] $A$ の特性方程式を

$$\vert A- \lambda I \vert= \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots +a_1 \lambda +a_0=0$$

とするとき：

$$A^n + a_{n-1} A^{n-1} + \cdots +a_1 A+a_0 I=0$$ (42)

が成立っていました. 以上が今までのおさらいです. さて,そもそも制御性の条件は(41)式を行列 $G$ を使って

$$\chi(n) = A^k \chi(0) + G \Omega$$

$$\Omega= \left \lbrack \begin{array}{c} \omega(0) \\ \o... ... \cdot \\ \omega(n-1) \\ \end{array} \right \rbrack$$

と変形し, 任意の $\mu,\nu \in R^n$ に対し $\mu= \chi(n), \nu = \chi(0)$ として $\chi(n)-A^{n} \chi(0) = G \Omega$ を充たす $\Omega$ が存在する条件を求めました.

$$(\forall \mu \in R^n) ( \forall \nu \in R^n) ( \exists \Omega \in R^{nm})$$

$$\{ \mu = \chi(n) \; and \; \nu = \chi(0) \; and \; \chi(n) - A^n \chi(0) = G \Omega \}$$

上で,$\mu=0$ にとった

$$(\forall \nu \in R^n)( \exists \Omega \in R^{nm} ) \{ \nu = \chi(0) \; and \; -A^n \chi(0) = G \Omega \}$$

を可制御性
$\nu=0$ にとった,

$$(\forall \mu \in R^n)( \exists \Omega \in R^{nm}) \{ \mu = \chi(n) \; and \; \chi(n)= G \Omega \}$$

を可到達性と言います. 可制御性は任意に与えられた初期点 $\chi(0)$ から原点へ動かせる $\Omega$ が存在するかどうか, 可到達性は原点から任意に与えられた点 $\chi(n)$ へ動かせる $\Omega$ が存在するかどうか,です. 以後,議論を簡単にするため $\vert A\vert \ne 0$ とします.これは $A^n$ の逆行列が存在することを意味し,この場合は, $\chi(n)= -A^n \chi(0)$ が解けることになり, 可制御性と可到達性は同値になります. 用語の解説は,専門の教科書にお願いするとして,今後,可制御性(=可到達性)

$$(\forall \mu \in R^n)( \exists \Omega \in R^{nm}) \{ \mu = \chi(n) \; and \; \chi(n)= G \Omega \}$$

を考察します. この場合も

$$(5),(26)の系が可制御 \Longleftrightarrow Rank(G)=n$$

です. [箸にも棒にもかからぬ] これからが本題です.可制御性や,可観測性の条件が,充たされない場合 すなわち, $Rank(G)< n$ のときや $Rank(M)< n$ ときはどうなってしまうのか？ ということです. $Rank(G)< n$ の場合どんなに

$$\Omega= \left \lbrack \begin{array}{c} \omega(0) \\ \o... ... \cdots \\ \omega(n-1) \\ \end{array} \right \rbrack$$

を選んでも $\chi(n)$ の選び方によっては

$$\chi(n) = G \Omega$$

が充たされないということが起きてしまいます. ( $\chi(n)$ に到達できないわけです.) 「成せばなる,成さねば成らぬ何事も,成らぬは人の成さぬなり」 　(クリントン前米国大統領も,尊敬したという上杉鷹山) なんて言ってられなくなります. $\chi(n)$ で,系がこの $\chi(n)$ に, $\Omega \in R^{nm}$ を選べば到達できるものすなわち

$$\chi(n) = G \Omega$$

を充たす, $\Omega$ が存在するも全体を

$$\Lambda_c = \{ \mu \in R^n \vert \exists \Omega \in R^{mn}, \mu = G \Omega \}$$

で定義します. 可制御部分空間なんて名前があるのですが,箸にかかる要素の集合とでも呼びます. 可観測性の条件についても,同様なことが起きます. そもそも可観測性の条件は,既に判っている系の係数行列 $A,B,C,D$ と 系に加えた制御 $\omega(0), \cdots, \omega(n-1)$ と それによる出力 $\eta(0),\eta(1), \cdots ,\eta(n-1)$ から 造られるベクトル $P$ と $M$ による方程式

$$M \chi(0)=P$$

が $\chi(0)$ について解けるかどうかの条件でした.
$Rank(M)< n$ の場合,$\nu \in R^n$ について $\chi(0) \ne 0$ で

$$M \chi(0) = 0$$

となることが起きます.

$$M_0 = 0$$

　　　 ですから $\chi(0)$ が $0$ と区別できなくなります. このような $\nu$ の集合を,

$$\Lambda_{uo} = \{ \nu \in R^n \vert M \nu = 0 \}$$

で定義します.不可観測部分空間などと呼ぶのですが,棒にもかからない集合 とでも呼びます. 系の方程式

$$% latex2html id marker 2579 \chi (k+1)=A \chi(k) + B \omega(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn21})}$$

$$% latex2html id marker 2581 \eta(k) = C \chi(k) + D \omega(k) \eqno{(\ref{eqn:rsn71})}$$

は状態変数 $\chi$ の要素を４つに分け

$$\chi= \left \lbrack \begin{array}{l} \chi_{cuo} \\ \ch... ...hi_{ucuo} \\ \chi_{uco} \\ \end{array} \right \rbrack$$

と表現することにより,４つのパーツに分解することができます. 「カルマンの分解」