紐の両端を結んで輪にして,テーブルに載せ色々な形の図形を作るのを想像してください。長方形でも,正方形でも,平行四辺形でも,台形でも,楕円でも円でも,三角形でも,歪なじゃがいもみたいな図形でも結構です。
今日の話題はそれらの図形の内,それで囲まれる面積が最大なものは何かというものです。ややこしくなるので,8の字のように中でくびれているのは「ナシ」にします。
ですから,楕円やジャガイモ,四角形のような単純な図形を思い浮かべてください。
どんな図形を作っても,紐が伸び縮みしないとすると,図形の周囲の長さは一定です。
古代の問題
「周囲の長さが一定な図形のうち,それで囲まれる面積が最大なものを求めよ」
図形の中心付近に原点を置き,図形の周上の点を座標で表しましょう。 ここで,普通の座標ではなく,局座標を使ってみます。これは,原点からその点までの距離と,原点を通って水平な軸から,その点をまでを,原点を中心にして,時計と反対周りに計った角度―ギリシャ文字のシータ―の対でで表します。
後の計算を楽にするため角度はラジアン単位で表すことにします。
高校時代習ったと思いますが,を360度する角度の表示法です。 例えば60度なら ラジアン
は0からまで動き,それに伴って,図形の周上の点は,その周囲を一周してきます。その間,図形が円でなければ,原点Oとその点との距離は一定でなく変化します。 角度に依存しますのでと書いておきます。
さて,図形の周上の2点との座標が, のとき,点とが近くにあれば,角度の差 は小さくなります。 原点OとP,Qで作られる中心角 の扇形の弧の長さは
それぞれ,隣りあった点の角度の差
が十分小さく,話を簡単にするため一定になるように,点の数を十分多く取ります。
例えば,を十分大きくして,
面倒なので,
図形の周の長さは,それぞれの扇形の弧の長さの総和で近似でき
です。また
図形の周で囲まれる面積Sは,それぞれの扇形の面積の総和で近似でき
ここで,紐の長さを簡単のためとしておきます。 すると問題は という制約条件の下で,が最大になるよう,,,…,を決める問題になります。 試しにぐらいにして,Excelのsolverなどで解いてみてください。
問題の解は,一体,どんな図形でしょうか?