単射,全射

写像$f:X\to Y$について
$\lceil 任意のXの要素x,wについて，f(x)=f(w)ならばx=w\rfloor$を満たすとき$f$は一対一($one-to-one$または単射)であるといいます．

$\lceil fが一対一\rfloor \iff (\forall x\in X)(\forall w\in X)(f(x)=f(w)\Rightarrow x=w)$

$f(X)=Y$を満たすとき$f$は全射$(onto)$(または$Y$の上への写像)であるといいます．
$\lceil fが全射\rfloor \iff f(X)=Y$

$f$が単射かつ全射であるとき双射(または全単射)といいます．

問題
$(1)X=\{ a,b,c\} ，Y=\{ 0,1,2,3\}$とします．
$f=(\{ (a,0),(b,1),(c,2)\} ,\{ a,b,c\} ,\{ 0,1,2,3\} )$は単射の例ですが，他の例を作っ下さい．

$X=\{ a,b,c\} ，Y=\{ 0,1\}$とします．
$f=(\{ (a,0),(b,1),(c,1)\} ,\{ a,b,c\} ,\{ 0,1\} )$は全射の例ですが，他の例を作っ下さい．

$(2)A$と$B$を$X$の部分集合とします．写像$f:X\to Y$が単射のとき
$f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$を示して下さい．

以上を命題としてまとめておきます．

$\left[ {命題3.2.1} \right]$

$f:X\to Y$のとき
$(1) A$と$B$が$X$の部分集合なら

$$f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$$

$$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$$

特に$f$が単射なら

$$f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$$

$(2)V,W$が$Y$の部分集合

$$f^{-1}(V\cup W)=f^{-1}(V)\cup f^{-1}(W)$$

$$f^{-1}(V\cap W)=f^{-1}(V)\cap f^{-1}(W)$$