関係

今まで，写像（関数）の形式的定義を紹介しました．
これはXからYへの写像（のグラフ）を，直積集合X×Yの部分集合として扱う方法でした．
写像は

$$f = (G_{f},X,Y)$$

で定義されました． $G_{f}$は$f$のグラフで直積集合 $X \times Y$ の部分集合です．
今後，

$$f(x) = x^{2}(x \in X)$$

のように $X$ の要素 $x$ に対して対応する $Y$ の要素が具体的に与えられている場合は，写像の表現

$$f = (\{ (x,x^2 )\vert x \in X\} ,X,Y)$$

の替わりに，

$$f:x \in X \mapsto x^2 \in Y$$

あるいは

$$x \in X \stackrel{f}{\longmapsto} x^2 \in Y$$

と表します． 写像と同様に，直積集合の部分集合で定義できるものとして，$2$項関係があります．

「$x \le y$」 とか「 $x$と$y$は$7$ を法として同値」といった二つの変数に関する関係です． これを形式化して扱うのにも直積集合を使います．