真理関数

前節1.1.5節では真理値の集合 ${\bf V}=\{T,F\}$ 上の論理演算として $\lnot ,\quad \land, \quad \lor,\quad \Rightarrow$ を定義した。しかし論理演算はこれ以外にも定義できる。以下これを 述べる。
繰り返すが

$$真(true) \ T \quad 偽(false) \ F \quad {\bf V}=\{ T,F\}$$

として${\bf V}$上の変数を命題変数と呼び $X,Y,\dots,A,B,\dots$などで表した。 変数を$１$個や$2$個に限らず$n$個の場合を考える。

命題$X,Y$の論理積$X \land Y$ は${\bf V}$の直積集合

$${\bf V}\times {\bf V}=\{ (T,T),(T,F),(F,T),(F,F)\}$$

から 1.1.5節の表により${\bf V}$への関数

$$\phi : (X,Y) \in {\bf V}\times {\bf V} \mapsto X \land Y \in {\bf V}$$ (1.1)

を定義しているものと見なせる。 具体的には

$$\begin{eqnarray*} &&(T,T) \rightarrow T \\ &&(T,F) \rightarrow F \\ &&(F,T) \rightarrow F \\ &&(F,F) \rightarrow F \end{eqnarray*}$$

という対応である。 　同様に命題の組 $(X_1,X_2,\dots,X_n)$から，これらに前節の論理演算を施した場合を 含めてなんらかの命題 ${\cal P}(X_1,X_2,\dots,X_n)$を定義することは 写像
真理関数

$$\phi:(X_1,X_2,\dots,X_n) \in {\bf V}^n \mapsto {\cal P}(X_1,X_2,\dots,X_n) \in {\bf V}$$ (1.2)

を定義しているものと見なせる。これを真理関数と呼ぶことにする。 $(X_1,X_2,\dots,X_n)$の値の取り方が$2^n$通りであり,その各場合に対して 関数値 $\phi(X_1,X_2,\dots,X_n)$の値の取り方は$T$あるいは$F$の２通りある。従って 真理関数$\phi$の種類は全部で$2^{2^n}$通り定まる。 以下に１変数と２変数真理関数を列挙する。

1. １変数の場合

   $X$	$\phi_1(X)$	$\phi_2(X)$	$\phi_3(X)$	$\phi_4(X)$
   $T$	$T$	$T$	$F$	$F$
   $F$	$T$	$F$	$T$	$F$
   $$	$T$	$X$	$\lnot X$	$F$

   上の表の最下段にはその関数の名称を記してある。「否定」は既に前節で説明した。
   1. $\phi_1(X)$は$X$の値の如何に関わらず常に$T$となる定値関数で$T$と書かれる。
   2. $\phi_2(X)$は$X$そのものである。
   3. $\phi_3(X)$は$X$の値と反対の値をとる関数で$\lnot X$と書かれる。

   4. $\phi_4(X)$は$X$の値の如何に関わらず常に$F$となる定値関数で$F$と書かれる。

2. ２変数の場合

   既に前節で述べたものもあるが，表の最下段には１変数真理関数と同様その関数の名称を記してある。

   $X$	$Y$	$\phi_1(X,Y)$	$\phi_2(X,Y)$	$\phi_3(X,Y)$	$\phi_4(X,Y)$
   $T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
   $T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
   $F$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$
   $F$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
   		$T$	$X \lor Y$		$X$

   $X$	$Y$	$\phi_5(X,Y)$	$\phi_6(X,Y)$	$\phi_7(X,Y)$	$\phi_8(X,Y)$
   $T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
   $T$	$F$	$F$	$F$	$F$	$F$
   $F$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$
   $F$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
   		$X \Rightarrow Y$	$Y$	$X \Leftrightarrow Y$	$X \land Y$

   $X$	$Y$	$\phi_9(X,Y)$	$\phi_{10}(X,Y)$	$\phi_{11}(X,Y)$	$\phi_{12}(X,Y)$
   $T$	$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
   $T$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
   $F$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$
   $F$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
   				$\lnot Y$

   $X$	$Y$	$\phi_{13}(X,Y)$	$\phi_{14}(X,Y)$	$\phi_{15}(X,Y)$	$\phi_{16}(X,Y)$
   $T$	$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
   $T$	$F$	$F$	$F$	$F$	$F$
   $F$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$
   $F$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
   		$\lnot X$			$F$