: 演習5
: ブール代数の基礎
: 演習3
- 系4を証明しなさい.
『系4 もし, が集合の体ならば,
は 』
- [証明]
- 集合の体の定義と集合演算の規則によります。集合演算の規則は前節の演習でやったので全て既知とします.
-
また, なら
すなわち
について閉じている.
- を任意にとると,
-
(交換律,交換法則)
-
(結合律,結合法則)
-
(吸収律,吸収法則)
-
(分配律,分配法則)
-
(補元律,補元法則,相補法則)
[証明終]
- 命題5を証明しなさい.
もし,
が ならば,
もそうである.
- [証明]
- の定義から自明.
ただし、(2)(i) (v)の各式については,第1式と第2式の順序を逆にする.
[証明終]
- で,
(べき等律),
- [証明]
-
[証明終]
- ブール代数において,補元が一意的であることを証明しなさい.
- [証明]
-
を仮定すると
よって
(証明終)
- ブール代数において, 0と1の働きをする要素はそれぞれ1つしかないことを証
明しなさい.
- [証明]
- まず. は空でないので が少なくとも一つ存在する.
ここで0と1の働きをする要素0'と1'が在ったとしても
補元律より
[証明終]
- で,次が成り立つことを証明しなさい.
-
-
- [証明]
- のとき で,
逆に、 のとき
よって定義から
- のとき で,
逆に,
のとき,ドモルガン則と から
よって定義から
[証明終]
*(6)で使ったドモルガン則
の証明は
よって,既に証明した補元の一意性から
第2式も同様にできる.
[証明終]
* -0=1については
と補元の一意性による.
全く同様に -1=0
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Yasunari SHIDAMA