演習9

$A$ の空でない部分集合 $X$ で, $0,1 \in X$ であり, $+, \cdot$ について 閉じているが, $X$ は $A$ の部分宇宙でないというブール代数 $A_g$ が存在 することを証明しなさい.

[証明]

$A_g= \{ A,+, \cdot ,-,0,1)$ で, $x \in A, \ne 0,1, -x \ne 0,1$ のとき $X= \{ 0,1,x \}$ なら $X$ は $+, \cdot$ について閉じているが, しかし, $-x$ は $X$ の元でないので 部分宇宙ではない. [証明終]