演習11

(1)

半順序集合とみたブール代数では最大元,最小元は存在しますか？もし存在 するならば,それは何ですか？

[解]

命題6(その1)(16)により
$(\forall x \in A)( 0 \le x \le 1)$, また $0,1 \in A$ ,
よって最小元は $0$ , 最大元は $1$

(2)

最小元を持つが,最大元を持たない半順序集合の例を挙げなさい. 以下 $0$ は $N$ に入れます.

[解]

例1 $\quad$ 自然数全体の集合 $N$. 最小元は $0$
例2 $\quad$ 実数の半開区間 $[0,1) \subseteq R$ 順序は実数 $R$ の順序

$$\begin{eqnarray*} \inf [0,1) &=& 0,0 \in [0,1) , 最小元 0 \\ \sup [0,1) &=& 1, ~not~ (1 \in [0,1)) 最大元 なし \\ \end{eqnarray*}$$

(3)

最大元を持つが,最小元を持たない半順序集合の例を挙げなさい.

[解]

例1 $\quad \{ -n \vert n \in N \}$ 順序は整数の順序です. 最大元は$0$
例2 $\quad$ 実数の半開区間 $(0,1] \subseteq R$ ただし順序は実数 $R$ の 順序です.

$$\begin{eqnarray*} \inf (0,1] &=& 0, ~not~ (0 \in (0,1]) 最小元 なし \\ \sup (0,1] &=& 1,1 \in (0,1] 最大元 1 \\ \end{eqnarray*}$$

(4)

最大元も, 最小元も持たない半順序集合の例を挙げなさい.
例1 $\quad$ 実数全体の集合 $R$
例2 $\quad$ 実数の開区間 $(0,1) \subseteq R$ 順序は実数 $R$ の順序です.

$$\begin{eqnarray*} \inf (0,1) &=& 0, ~not~ (0 \in (0,1)) , 最小元 なし \\ \sup (0,1) &=& 1, ~not~ (1 \in (0,1)) 最大元 なし \\ \end{eqnarray*}$$

(5)

最大元(最小元)が存在するとき,その一意性を証明しなさい.

[証明]

最大元が $M_1,M_2$ とすると：

$$(\forall x \in P)( x \le M_1) M_1 \in P$$

$$(\forall x \in P)( x \le M_2) M_2 \in P$$

第1式の $x$ に $M_2$ を代入し,第2式の $x$ に $M_1$ を代入すると $M_2 \le M_1,M_1 \le M_2$ よって

$$M_1=M_2$$

最小元が $m_1,m_2$ とすると：

$$(\forall x \in P)( m_1 \le x) m_1 \in P$$

$$(\forall x \in P)( m_2 \le x) m_2 \in P$$

第1式の $x$ に $m_2$ を代入し, 第2式の $x$ に $m_1$ を代入すると

$$m_1 \le m_2,m_2 \le m_1$$

よって

$$m_1=m_2$$

[証明終]