演習14

$Nat$ を自然数全体の集合とします. $Fin$ を $Nat$ の有限部分集合の全体と します. $Cofin+$ を $Nat$ の部分集合 $E$ で, $E$ または $Nat \sim E$ が有限になるもの全体の集合とします. さらに, $FinEven$ を $Nat$ の有限部分集合で偶数のみからなる集合全体の集合とします. このとき,半順序集合 $(P(Nat), \subseteq)$ とその部分半順序集合 $(Fin, \subseteq),(Cofin+, \subseteq),(FinEven, \subseteq)$ を考えます. $FinEven \subseteq Fin \subseteq Cofin+ \subseteq P(Nat)$ は明らかです.

このとき,

1. $FinEven$ は $(Fin, \subseteq)$ では上界を持たない.

   [証明]

   背理法によります.
   $M$ を $FinEven$ の $(Fin, \subseteq)$ での上界と すると, 任意の $X \in FinEven$ について,
   

   $$X \subseteq M$$

   
   

   任意 $n \in N$ について偶数 $\lceil 2n \rceil$ 1個だけからなる集合 $\{ 2n \}$ は $\{ 2n \} \in FinEven$ で,これから
   

   $$\{ 2n \} \subseteq M$$

   
   

   
   

   $$\{ 2n\vert n \in N \} = \cup \{ 2n \} \subseteq M$$

   
   

   これは, $M$ が有限集合である ( $Fin$ の元である)ことに反します.

   [証明終]

   $(Cofin+, \subseteq)$ では無限個の上界を持つことを確かめなさい.

   [証明]

   例えば任意の $k \in N$ について, $X_k=N \sim \{ 2k+1 \}$ とおくと
   

   $$N \sim X_k = \{ 2k+1 \}$$

   
   

   ゆえ,
   

   $$X_k \in Cofin+$$

   
   

   で, $X_k$ は奇数 $2k+1$ を1個だけ $N$ から取り除いた, $N$ の部分集合ですから, $Even$ を偶数全体の集合とすと, $Even \subseteq X_k$ で
   

   $$(\forall Y \in FinEven)(Y \subseteq Even \subseteq X_k)$$

   
   

   よって, $X_k$ は $FinEven$ の $Cofin+$ の上界で, $k \in N$ を $N$ 全体で 動かせば,このような $X_k$ は無限個.

   [証明終]

2. また, $(P(Nat), \subseteq)$ では,偶数全体の集合が $FinEven$ の 上限になっていることを確かめなさい.

   [証明]

   $Even$ を偶数全体の集合とすると,
   

   $$(\forall A \in FinEven)(A \subseteq Even)$$

   
   

   ゆえ, $Even$ は $FinEven$ の $(P(Nat), \subseteq)$ での上界
   $M$ を $FinEven$ の任意の上界とすると, $x \in Even$ を任意にとれば, $x$ は偶数で, $\{ x \} \in FinEven$ で $M$ は $FinEven$ の上界だから $\{ x \} \subseteq M$ よって $x \in M$ $x \in Even$ を任意にとったから
   

   $$(\forall x)(x \in Even \Rightarrow x \in M)$$

   
   

   よって
   

   $$Even \subseteq M$$

   
   

   $M$ は任意にとったから $Even$ は上界の最小元.すなわち上限.

   [証明終]