最短曲線

「平面上の2点を結ぶ線分のうち長さが最小のものを求めよ」

簡単のため2点の座標を$(0,0)$と$(10,10)$とてしておきます。

この2点を結ぶ線分を考えます。$x-軸$の0から10までを$N$等分して

$\mit\Delta x=10/N$

$x_0=0,\quad x_1=\mit\Delta x,\quad x_2=2\mit\Delta x,…,\quad x_{N-1}=(N-1)\mit\Delta x,\quad x_N=N\mit\Delta x=10$

とし， それに対応した線分上の点を

$$P0=(0,0),\quad p_1=(x_1,y_1),…,\quad PN-1=(x_{N-1},y_{N-1}),\quad PN=(10,10)$$

とします。 この$P_0,…,P_N$を結ぶ折れ線で問題の線分を近似します。

折れ線の線分の長さはピタゴラスの定理を使って

$$L=\{\mit\Delta x^2+(y_1-0)^2 \}^{\frac{1}{2}}+ \{ \mit\Delta... ...1}{2}} … + \{ \mit\Delta x^2+(10-y_{N-1})^2 \}^{\frac{1}{2}}$$

です。$L$が最小になるように $y_1,y_2,…,y_{N-1}$ を求めればいいわけです。