解析解

解析的に解くなら，以下の道具を使います。

$[$道具その１$]$
まず，大学の１年次か高校３年ぐらいで習った極値条件です。

関数の極値条件

実数値関数$F(x)$が$x=x_0$で極小値または極大値をとり，かつ，$x=x_0$で微分可能であれば，$F(x)$の$x=x_0$での微分係数は０である。

$$\frac{dF}{dx}(x_0) = 0$$

$[$道具その２$]$
半径１の円の方程式

$x_2+y_2=1$   　(1)

に注目します。判りやすいように，
$1\ge x \ge -1,1 \ge y \ge 0$
としておきます。
$g(x)=\sqrt{1-x^2}$
とすると， $1\ge x \ge -1,1 \ge y \ge 0$では(1)の方程式を満たす$x$,$y$については
$y=g(x)$
という関係が成り立っています。この$g(x)$という関数は，(1)式の中には出てきません。(1)からこのように間接的に導き出される関数を陰関数と呼びます

一般的に書けば$f(x,y)=0$という式から陰関数$y=g(x)$が定義されるということです。
#上の例では　 $f(x,y)=x^2+y^2-1$

しかし，何時でも上の例のように，$f(x,y)=0$から陰関数$y=(x)$が定義されるわけではありません。良く知られる定理では

$[$陰関数定理$]$

ある領域D $\subseteq R\times R$で関数$f(x,y)$が連続でかつ,$x$,$y$について偏微分可能で,
その偏導関数

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)~~~~~~~~~(1)$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)~~~~~~~~~(2)$$

も$(x,y)$について連続とする。
D内の１点$(x_0,y_0)$で$f(x_0,y_0)=0$であり,

$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0~~~~~~~~~(4)$$

とする。
このとき，$x_0$を含む$[a,b]$とその上の連続関数$g(x)$が与えられ
(1)  区間$[a,b]$上で $f(x,g(x))=0$
(2)  $y_0=g(x_0)$
(3)  区間$[a,b]$上で，

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y}~~~~~~~~(5)$$

さて，元の問題に返る準備をします。

関数$L(x,y)$が，制約条件
$f(x,y)=0$
の元に
$(x,y)=(x_0,y_0)$で極値(極大値か極小値)をとるとします。
$L(x,y)$が$(x,y)$について微分可能な関数で，関数$f(x,y)$は$(x_0,y_0)$が上の道具その２の陰関数定理を適用できる条件を満たしているものとします。
すると，$x_0$の近傍で関数$g(x)$が存在して，$x_0$のその近傍では
$f(x,g(x))=0$　が成り立ち，$y_0=g(x_0)$, $f(x_0,g(x_0))=0$も成り立っています。
すると，関数$L(x,y)$は$(x_0,y_0)$で極値(極大値か極小値)をとるのですから
$F(x)=L(x,g(x))$も$x=x_0$で極値を取ります。



道具その１を使えば,

$$\frac{dF}{dx}(x_0)=0~~~~~~~~~~~~(6)$$

です。この$x$についての微分を求めると$F(x)$は合成関数ですから

$$\frac{dF}{dx}(x_0)=\frac{\partial}{\partial x}L(x_0,g(x_0))+\... ...l}{\partial y}L(x_0,g(x_0))\frac{d}{dx}g(x_0)~~~~~~~~~~~~~~~(7)$$

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y}~~~~~~~~~~~~~~~(8)$$

$y=g(x)$でしたから(8)式を上の(7)式に代入し

$$\lambda=\frac{\partial}{\partial y}L(x_0,g(x_0))\{-\frac{\partial f}{\partial y}\}^{-1}~~~~~~~~~~~~~~(9)$$

という変数を使うと，

$$0=\frac{dF}{dx}(x_0)=\frac{\partial}{\partial x}L(x_0,g(x_0))... ...mbda\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,g(x_0))~~~~~~~~~~~~~~~(10)$$

また

$$\lambda \frac{\partial}{\partial y}f(x_0,g(x_0)=-\frac{\partial}{\partial y}L(x_0,g(x))~~~~~~~~~~~~~~(11)$$

から

$$0=\frac{\partial}{\partial y}L(x_0,g(x_0))+\lambda \frac{\partial}{\partial y}f(x_0,g(x_0))~~~~~~~~~~~~~~~~(12)$$

すなわち$\lambda$という新しい変数を使って

$$H(x,y,\lambda)=L(x,y)+\lambda f(x,y)~~~~~~~~~~~~(13)$$

という関数を造ると:
$\lceil$関数$L(x,y)$が制約条件
$f(x,y)=0$
の元に
$(x,y)=(x_0,y_0)$で極値(極大値か極小値)をとる$\rfloor$
という条件からHについての制約のない場合の極値条件

$$\frac{\partial}{\partial x}H(x_0,y_0,\lambda)=0~~~~~~~~~~~~~~(14)$$

$$\frac{\partial}{\partial y}H(x_0,y_0,\lambda)=0~~~~~~~~~~~~~~(15)$$

$$\frac{\partial}{\partial \lambda}H(x_0,y_0,\lambda)=f(x_0,y_0)=0~~~~~~~~~~~~~~~(16)$$

が出てきます。

要するに，制約条件付きの極値問題から，$\lambda$という人工的な変数を使って

$$目的の関数+\lambda\times (制約条件を表す関数)$$

の制約条件のない場合の極値条件が出てきたわけです。
ただしこの議論は$\lceil$その点が最大(小)値を与える $\rfloor \Rightarrow \lceil$その点が極値が与える $\rfloor \Rightarrow \lceil$ その点での微分係数＝０$\rfloor$
という必要条件の連鎖でやってきましたので注意が必要です。

$\lceil$微分係数＝0$\rfloor$は必要条件ですから，これが満たされても，極値かどうかチェックの必要があり，さらにはHの極値を与える$(x_0,y_0)$が求められたとしても，それが最大(小)値を与えるのか確かめる必要があります。

また，少なくとも$L$と$f$が$x,y$について微分可能であることも必要です。
ここで使われた$\lambda$をラグランジュ乗数といいます。

問題

$L(x,y)=x+y$とするとき，
半径１の円周
$x^2+y^2=1$
上の点$(x,y)$で$L(x,y)$を最大にするものを求めよ。

について
$f(x,y)=x^2+y^2-1$
として，今までの議論を用いて解を求めてください。
#(14),(15),(16)を連立して解くということです。