有限個の集合の演算

集合の合弁, 共通部分,補集合は以下で定義されます。

定義：２つの集合の和,積

$$\begin{eqnarray*} A \cup B & \stackrel{def}{=} & \{ x\vert x \in A ~or~ x \in B... ...' & \stackrel{def}{=} & \{ x\vert x \in U \ and \ x \notin A \} \end{eqnarray*}$$

非順序対の対公理

$$(\forall a)(\forall b)(\exists Z) \left \{ (\forall x)(x \in Z \Leftrightarrow (x=a \ or \ x=b) ) \right \}$$

の公理により ${\cal F}=\{ A,B \}$ の存在が保証され,さらに合弁の公理

$$(\forall {\cal F}) (\exists {\cal Z}) \left \{ (\forall ... ...ow (\exists W) (x\in W \ and \ W \in {\cal F }) \right \}$$

により

$$\{ x\vert x \in A ~or~ x \in B \}$$

の存在が保証され,前節のラッセルのパラドックスを避けるための基準も充たされています。

また,前節の分出の定理

$$(\exists B)(\forall x) (x \in B \Leftrightarrow x \in A ~and~ {\cal P}(x) )$$

によって 関係式${\cal P}(x)$を$x \in B$とおけば

$$\{ x\vert x \in A ~and~ x \in B \}$$

の存在が保証され

同様に,関係式${\cal P}(x)$を$x \notin A$, $A$に$U$を代入すれば

$$\{ x\vert x \in U \ and \ x \notin A \}$$

の存在が保証され, 何れもパラドクス回避の基準が充たされています。

これらの定義の基に以下の命題群が成り立っています。

命題2.2.1

$$A \cup B = B \cup A$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in ... ...\in B \cup A)\\ &&∴ \quad A \cup B = B \cup A \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.2

$$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \cup (B \cup C) \Leftrightarr... ...p C \\ &&A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.3

$$A \cup A = A$$

証明

$$\begin{eqnarray*} xを任意にとると\\ &&x \in A \cup A \Leftrightarrow x \in A ... ...trightarrow x \in A)\\ &&∴ \quad A \cup A = A \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.4

$$A \cup \phi = A$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \cup \phi \Leftrightarrow x \... ...ghtarrow x \in A)\\ &&∴ \quad A \cup \phi = A \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.5

$$A \cup U = U$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \cup U \Leftrightarrow x \in ... ...trightarrow x \in U)\\ &&∴ \quad A \cup U = U \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.6

$$A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&A \subseteq Bとすると定義から\\ &&(\forall x)(x \in A \Ri... ... \quad A \subseteq B \Leftrightarrow A \cup B = B \qquad\Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.7

$$A \cap B = B \cap A$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in ... ...\in B \cap A)\\ &&∴ \quad A \cap B = B \cap A \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.8

$$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \cap (B \cap C) \Leftrightarr... ...&&∴ \quad A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.9

$$A \cap A = A$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \cap A \Leftrightarrow x \in ... ...trightarrow x \in A)\\ &&∴ \quad A \cap A = A \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.10

$$A \cap \phi = \phi$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \cap \phi \Leftrightarrow x \... ...ow x \in \phi)\\ &&∴ \quad A \cap \phi = \phi \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.11

$$A \cap U = A$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \cap U \Leftrightarrow x \in ... ...trightarrow x \in A)\\ &&∴ \quad A \cap U = A \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.12

$$A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = A$$

命題2.2.12の証明

$$\begin{eqnarray*} &&A \subseteq B とすると\\ && (\forall x) (x \in A \Rightar... ...&∴ \quad A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B = A \qquad\Box \end{eqnarray*}$$

命題2.2.13

$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \cap (B \cup C) \Leftrightarr... ...d A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.14

$$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \cup (B \cap C) \Leftrightarr... ...d A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.15

$$(A')' = A$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in (A')' \Leftrightarrow x \in U ~... ...Leftrightarrow x \in A)\\ &&∴ \quad (A')' = A \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.16

$$\phi' = U$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in \phi' \Leftrightarrow x \in U ~... ...Leftrightarrow x \in U)\\ &&∴ \quad \phi' = U \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.17

$$A \cup A' = U$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \cup A' \Leftrightarrow x \in... ...rightarrow x \in U)\\ &&∴ \quad A \cup A' = U \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.18

$$A \cap A' = \phi$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \cap A' \Leftrightarrow x \in... ...rrow x \in \phi)\\ &&∴ \quad A \cap A' = \phi \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.19

$$A \subseteq B \Leftrightarrow B' \subseteq A'$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&A \subseteq Bとすると定義より\\ && (\forall x) (x \in A \... ...quad A \subseteq B \Leftrightarrow B' \subseteq A'\qquad\Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.20

$$(A \cup B)' = A' \cap B'$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in (A \cup B)' \Leftrightarrow x \... ...\cap B')\\ &&∴ \quad (A \cup B)' = A' \cap B' \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$

命題2.2.21

$$(A \cap B)' = A' \cup B'$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in (A \cap B)' \Leftrightarrow x \... ...\cup B')\\ &&∴ \quad (A \cap B)' = A' \cup B' \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$