集合族の演算

第１章のべき集合の公理

$$(\forall X)(\exists Y) (\forall z) (z \in Y \Leftrightarrow z \subseteq X )$$

によれば,集合$U$が与えられたときにその$U$の部分集合全体からなる集合の存在を示しています。そのような集合を$U$のべき集合と呼び,

$${\cal B}(U)=\{ Y\vert Y \subseteq U \}$$

と表します。 $\Omega$の部分集合

$${\cal F} \subseteq {\cal B}(U)$$

は集語族と呼ばれますが,これの和と積は以下で定義されます。 [定義：集合族の合弁と共通部分]

$$\begin{eqnarray*} \bigcup {\cal F} & \stackrel{def}{=} & \{ x\vert x \in U \ ... ...n U \ and \ (\forall Y)(Y \in {\cal F} \Rightarrow x \in Y)\} \end{eqnarray*}$$

[命題2.2.22]

$${\cal F}'=\{Y'\vert Y \in {\cal F} \}$$

とするとき

$$(\bigcup {\cal F})' = \bigcap {\cal F}'$$

[証明]

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in (\bigcup {\cal F})' \Leftrighta... ... &&∴ \quad (\bigcup {\cal F})' = \bigcap {\cal F}' \qquad \Box \end{eqnarray*}$$

[命題2.2.23]

$${\cal F}'=\{Y'\vert Y \in {\cal F} \}$$

とするとき

$$(\bigcap {\cal F})' = \bigcup {\cal F}'$$

[証明]

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in (\bigcap_{\cal F})' \Leftrighta... ...∴ \quad (\bigcap {\cal F})' = \bigcup {\cal F}' \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$