順序対と直積集合

非順序対の対公理

$$(\forall a)(\forall b)(\exists Z) \left \{ (\forall x)(x \in Z \Leftrightarrow (x=a \ or \ x=b) ) \right \}$$

に $a=\{x \},b=\{x,y \}$を適用して

$$\{\{x \},\{x,y \} \}$$

という集合を造れます。

この集合を$(x,y)$と表すことにします。 以下の性質が成立っています。

$$(\forall x)(\forall y)(\forall a)(\forall b) \{ (x,y)=(a,b) \Leftrightarrow x=a ~and y=b \}$$

[証明] $x,y,a,b$を任意にとり,

$$(x,y)=(a,b)$$

とおくと,定義から

$$\{\{x \},\{x,y \} \} =\{\{a \},\{a,b \} \}$$

これから

$$\{x \}=\{a \} ~or~ \{x \}=\{a,b \}$$

$$\{x,y \} =\{a \}~or~ \{x,y \}=\{a,b \} \}$$

$$\{x \}=\{a,b \}~or \{x,y \}=\{a,b \} \}$$

$x \ne a$ とすると　 $\{x \} \ne \{a \}$ よって　 $\{x \}=\{a,b \}$ $a \in \{a,b \}=\{x \}$より　$x=a$となって仮定に矛盾よって$x=a$ 　

$y \ne b$ とすると　

$x \ne y$なら $\{x,y \} \ne \{a \}$から $\{x,y \}=\{a,b \}$ $y \in \{x,y \}=\{a,b \}$で$y=a ~or~ y=b$ $y=a$とすると $x=y$となり矛盾。しかし,$y=b$としても$y \ne b$に矛盾 よって$x=y$

$x=y$から $\{y\}=\{a,b \}$から$y=b$となり矛盾

　　結局、$y=b$

[証明終]

$(x,y)$を順序対と呼びます。

直積集合の定義

$$\{z \vert (\exists x)(\exists y)(x \in X ~and~ y \in Y ~and~ z=(x,y)) \}$$

という集合が定義できます。これを

$$X \times Y$$

で表し,$X$と$Y$の直積と呼びます。

[直積集合の存在証明]

$$\{x \} \in {\cal B}(X) \subseteq {\cal B}(X \bigcup Y), \{x ,~y \} \in {\cal B}(X \bigcup Y)$$

に注意すると

$$(x,y)=\{\{x \},\{x,y \} \} \in {\cal B}({\cal B}(X \bigcup Y))$$

であり,

関係式

$$(\exists x)(\exists y)(x \in X ~and~ y \in Y ~and~ z =(x,y))$$

を ${\cal P}(z)$とおくと,前節の分出の定理によって

$$(\exists C)(\forall z)(z \in B \Leftrightarrow z \in {\cal B}({\cal B}(X \bigcup Y)) ~and~ {\cal P}(z) ) )$$

であり,さらに,

$$z \in {\cal B}({\cal B}(X \bigcup Y)) ~and~ {\cal P}(z) ) ... ... (\exists x)(\exists y)(x \in X ~and~ y \in Y ~and~ z =(x,y))$$

$$\{z \vert (\exists x)(\exists y)(x \in X ~and~ y \in Y ~and~ z=(x,y)) \}$$

という集合が定義できます。 [証明終]

[命題2.5.1]　

$$X,Y\neq\phi$$

$$A_1,A_2\subset X$$

$$B_1,B_2\subset Y$$

とすると以下が成り立つ。

1. $(A_1\times B_1)\cap(A_2\times B_2)=(A_1\cap A_2)\times(B_1\cap B_2)$
   

   証明(a)

   $(a,b)\in(A_1\times B_1)\cap(A_2\times B_2)$を任意に選ぶと
   

   $$(a,b)\in A_1\times B_1$$

   
   

   よって
   

   $$a \in A_1 \,\ b \in B_1$$

   
   

   同様にして $(a,b)\in A_2\times B_2$から
   

   $$a\in A_2 \,\ b\in B_2$$

   
   

   よって
   

   $$a\in A_1\cap A_2 \,\ b\in B_1\cap B_2$$

   
   

   よって
   

   $$(a,b)\in(A_1\cap A_2)\times (B_1\cap B_2)$$

   
   

   ゆえに任意の$(a,b)$について
   

   $$(a,b) \in (A_1 \times B_1) \cap (A_2 \times B_2) \Rightarrow (a,b) \in (A_1 \cap A_2) \times (B_1 \cap B_2)$$

   
   

   逆に $(a,b) \in (A_1\cap A_2) \times (B_1\cap B_2)$を任意に選ぶと、これから
   

   $$a\in A_1,b\in B_1\quad(a,b)\in A_1\times B_1$$

   
   

   
   

   $$a\in A_2,b\in B_2\quad(a,b)\in A_2\times B_2$$

   
   

   よって
   

   $$(a.b)\in(A_1\times B_1)\cap(A_2\times B_2)$$

   
   

   すなわち任意の$(a,b)$について
   

   $$(a,b) \in (A_1 \cap A_2) \times (B_1 \cap B_2) \Rightarrow (a,b) \in (A_1 \times B_1) \cap (A_2 \times B_2)$$

   
   

2. $$\begin{eqnarray*} (A_1\times B_1) \setminus (A_2\times B_2)&=&(A_1 \setminus A_... ...nus B_2)\\ & &\quad\cup(A_1 \setminus A_2)\times(B_1\cap B_2) \end{eqnarray*}$$
   
   

   証明(b)

   $(a,b)\in(A_1\times B_1) \setminus (A_2\times B_2)$を任意に選ぶと；
   $(a,b)\in A_1\times B_1~$から $~a\in A_1 \quad and \quad b\in B_1$
   $(a,b)\notin A_2\times B_2~$から $~a\notin A_2~or~b\notin B_2$
   を得る。

   $$\begin{eqnarray*} a\in A_1~and~b\in B_1&\Leftrightarrow&(a\in(A_1 \setminus A_2... ...A_2)\\ & &\quad(b\in (B_1 \setminus B_2)~or~b\in B_1\cap B_2) \end{eqnarray*}$$

   
   

   ゆえ

   $$\begin{eqnarray*} (a,b)&\in&(A_1 \setminus A_2)\times (B_1 \setminus B_2)\\ &... ...inus 2)\\ & &\quad\cup(A_2 \setminus A_2)\times (B_1\cap B_2) \end{eqnarray*}$$

   
   

   となります。
   逆も明か。