排他和

集合の排他和は以下で定義されます。

定義：集合の排他和

$$A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$$

この定義の基に以下の命題が成り立ちます。

命題2.4.1

$$A \Delta (B \Delta C)=(A \Delta B) \Delta C$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&A \Delta (B \Delta C) = (A \setminus B \Delta C) \cup (B \D... ...\cup(A\cap B'\cup C')\cup(A'\cap B\cap C')\cup(A'\cap B'\cap C) \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} &&(A\Delta B)\Delta C=\{(A\Delta B) \setminus C\}\cup\{C \set... ...に\\ &&A\Delta (B \Delta C) = (A\Delta B)\Delta C \qquad \Box \end{eqnarray*}$$

命題2.4.2

$$A \Delta \phi =A$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&A \Delta \phi = (A \setminus \phi) \cup (\phi \setminus A) ... ...p (\phi \setminus A')\\ &&= A \cup \phi\\ &&= A \qquad \Box \end{eqnarray*}$$

命題2.4.3

$$A \Delta A=\phi$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&A \Delta A = (A \setminus A) \cup (A \setminus A)\\ &&= (A \cap A') \cup (A \cap A')\\ &&= \phi \qquad \Box \end{eqnarray*}$$

命題2.4.4

$$A \cap (B \Delta C)=(A \cap B) \Delta (A \cap C)$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&A \cap (B \Delta C) = A \cap \{(B \setminus C) \cup (C \set... ...B \cap C) \cup (A \cap C \setminus A \cap B \cap C) \qquad \Box \end{eqnarray*}$$