写像の像と逆像

さて，$X$の部分集合$A\subseteq X$について

$$\{ y\vert y\in Y~and~(\exists x\in A)(y=f(x))\}$$

を$f(A)$と表します．$f$による$A$の像と言います．また $Y$の部分集合$V\subseteq Y$について

$$\{ x\vert x\in X~and~(\exists y\in V)(y=f(x))\}$$

を$f^{-1}(V)$と表します．$f$による$V$の逆像と言います．
$f^{-1}(V)$は$f$の逆写像の像の意味ではありません．

命題3.1.1

$f(A)$は以下のような別表現も可能です．

$$\begin{eqnarray*} &&f(A)=\{ y\vert y\in Y~and~(\exists x\in A)(y=f(x))\} \\ &... ... f(x)\vert x\in A\} =\{ y\vert(\exists x\in A)((x,y)\in G_f \} \end{eqnarray*}$$

同様に$f^{-1}(V)$ も

$$\begin{eqnarray*} &&f^{-1}(V)=\{ x\vert x\in X~and~(\exists y\in V)(y=f(x))\} \\ &&=\{ x\vert(\exists y\in V)((x,y)\in G_f )\} \end{eqnarray*}$$

$f=(G_f ,X,Y)$が$X$から$Y$への写像のとき$X$のことを$f$の定義域といいます．$dom(f)$とも書きます．$f(X)$のことを$f$の値域といいます．$Rng(f)$とも書きます．

$$f=(\{ (x,x^2) \vert x \in R\} ,R,R)$$

について

$$dom(f)=R,Rng(f)=\{ y\vert y\in R~and~y \ge 0\}$$

$$f=(\{ (x,\sin (x)) \vert x \in R\} ,R,R)$$

について

$$dom(f)=R,Rng(f)=\{ y\vert y\in R~and~-1\le y \le 1\}$$

問題
$A$と$B$を$X$の部分集合とします．
このとき $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$が成り立っています．
$\left[ {証明} \right]$

     実際，$y\in f(A\cap B)$を任意にとると，$x\in A\cap B$が存在して$y=f(x)$


		 これから$(\exists x\in A)(y=f(x))$よって$y\in f(A)$


		 同様に


		 $(\exists x\in B)(y=f(x))$よって$y\in f(B)$


		 以上から$y\in f(A\cap B)$．


		 $y$は任意でしたから$(\forall y)(y\in f(A\cap B)\Rightarrow f(A)\cap f(B))$


		  即ち$f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$

$\left[ {証明終り} \right]$

$(1)$上と同様にして $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$を示して下さい．
$(2)$また$V,W$を$Y$の部分集合とするとき

$$f^{-1}(V\cup W)=f^{-1}(V)\cup f^{-1}(W)$$

$$f^{-1}(V\cap W)=f^{-1}(V)\cap f^{-1}(W)$$

を示して下さい．

さらに、以下の命題が成立っています。

命題3.1.2

$$\begin{eqnarray*} &&(1) \quad f(\phi)=\phi \\ &&(2) \quad f(X) \subseteq Y ... ...uad f(\bigcap_{i \in I} A_i) \subseteq \bigcap_{i \in I} f(A_i) \end{eqnarray*}$$

証明

同様に以下の命題が成り立ちます。

命題3.1.3

$$\begin{eqnarray*} &&(1) \quad f^{-1}(\phi)=\phi \\ &&(2) \quad f^{-1}(Y) = ... ... I} f^{-1}(B_i) \\ &&(6) \quad \quad \ f^{-1}(B')=f^{-1}(B)' \end{eqnarray*}$$

証明

$$\begin{eqnarray*} &&(1) \quad f^{-1}(\phi) \\ &&= \{ x \mid (x \in X) \quad a... ...\in I}f^{-1}(B_i) = f^{-1}(\bigcap_{i \in I} B_i) \qquad\Box \end{eqnarray*}$$