集合族

集合$I$から集合$Y$のべき集合 ${\cal B}(Y)=\{Z\vert Z \subseteq Y \}$へ写像

$$i \in I \mapsto X(i) \in {\cal B}(X)$$

を集合族とよび,

$$\{ X_i\}_{i \in I}$$

で表します。$I$は特に添え字集合と呼ばれます。

$${\cal F}=\{X_i\vert i \in I \}$$

とおけば,

$${\cal F} \subseteq {\cal B}(Y)$$

で

$$\cup {\cal F},\cap {\cal F}$$

などが定義できますが

$$\cup {\cal F}=\{ x\vert (\exists i)(i \in I ~and~x \in X_i )\}$$

$$\cap {\cal F}=\{ x\vert (\forall i)(i \in I ~\Rightarrow~x \in X_i )\}$$

となりますので

$$\bigcup_{i \in I}X_i=\{ x\vert (\exists i)(i \in I ~and~x \in X_i )\}$$

$$\bigcap_{i \in I}X_i=\{ x\vert (\forall i)(i \in I ~\Rightarrow~x \in X_i )\}$$

と定義します。

また, 集合族とよび,

$$\{ X_i\}_{i \in I}$$

多重積を

$$\prod_{i \in I}X_i := \{ f\vert f:I \rightarrow \bigcup_{i \in I}X_i ~and~ (\forall i)(i \Rightarrow f(i) \in X_i)\}$$

で定義します。

[命題2.2.22]の集合族版

$$(\bigcup_{i \in I} X_i)' = \bigcap_{i \in I} X_i'$$

[証明]

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in (\bigcup_{i \in I} X_i)' \Leftr... ...d (\bigcup_{i \in I} X_i)' = \bigcap_{i \in I} X_i' \qquad \Box \end{eqnarray*}$$

[命題2.2.23]の集合族版

$$X_i'=\{Y'\vert i \in I \}$$

とするとき

$$(\bigcap_{i \in I} X_i)' = \bigcup_{i \in I} X_i'$$

[証明]

$$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in (\bigcap_{i \in I} X_i)' \Leftr... ...\bigcap_{i \in I} X_i)' = \bigcup_{i \in I} X_i' \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$$