整列順序の定義

$X$上の順序関係がさらに

$$(\forall Y:Y \subseteq X ~and~ Y \ne \phi)(\exists y_0)(y_0はYの最小元))$$

を充たすとき整列順序であると言います。

$X$上に整列順序関係が与えられたとき,$X$の任意の２元$x,y$について の$X$の部分集合${x,y}$は定義により最小元を持ちますから

$$x \le y ~or~y \le x$$

が成立つことになり,$X$上は全順序集合になります。この逆は必ずしも成立ちません。 全順序集合であっても,整列順序集合でない場合があります。