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同型定理

[同型定理]

\begin{eqnarray*} &&E,F:整列集合 \Rightarrow \\ && (\exists F_1 \subseteq F ... ...(\exists_1 f) (f:E_1 \rightarrow Fは整列順序について同型 ) \\ \end{eqnarray*}

[証明]

一意性

\begin{displaymath} F_1 \subseteq F ~and~ Fの切片), ~~f,g:E rightarrow F_1は整列順序について同型 \end{displaymath}

とするとき


\begin{displaymath} G=\{y\vert y \in E ~and~f(y) > g(y) \} \ne \phi \end{displaymath}

とすると,$m = min (G)$が存在する。

\begin{eqnarray*} &&x < m \Leftrightarrow x \notin G \\ &&\Rightarrow f(x) \l... ...単調増加)\\ &&\Rightarrow f(x) \le g(x)<g(m)<f(m) ~~(m \in G) \end{eqnarray*}

となり矛盾。よって

\begin{displaymath} G=\phi \end{displaymath}

すなわち,

\begin{displaymath} (\forall x \in E)(f(x) \le g(x)) \end{displaymath}

全く同様にして

\begin{displaymath} (\forall x \in E)(g(x) \le f(x)) \end{displaymath}

よって

\begin{displaymath}f=g\end{displaymath}

存在性 ${\bf ツォルン（Z\ddot{o}rn）の補題} $を使います。

順序の定義

\begin{displaymath} {\cal K}=\{ f:\vert (\exists E_1 \subseteq E ~and~ Fの切片)... ... (\exists f)(f:E_1 \rightarrow F_1は整列順序について同型 ) \} \end{displaymath}

とおく。 $f,g \in {\cal K}$ について


\begin{displaymath} f \le g \stackrel{def}{\Leftrightarrow} G_f \subseteq G_g ~and~ dom(f) \subseteq dom(g) ~and~ Rang(f) \subseteq Rang(g)\end{displaymath}

と定義すると,

\begin{displaymath} f \le g \end{displaymath}

は${\cal K}$上の順序。
帰納的集合


\begin{displaymath} {\cal L} \subseteq {\cal K},{\cal L} \ne \phi \end{displaymath}

を全順序部分集合とする。

\begin{eqnarray*} &&m=(G_m,dom(m),Rang(m)) \\ &&G_m=\bigcup_{f \in {\cal L}} ... ... {\cal L}}dom(f) \\ &&Rang(m)=\bigcup_{f \in {\cal L}}Rang(f) \end{eqnarray*}

とおく。


\begin{displaymath} x \in dom(m), y \in E, y \le x \end{displaymath}

とすると$dom(m)$の定義から $x \in dom(f), f \in {\cal L}$となる$f$が存在し,
$dom(f)$は$E$の切片ゆえ $y \in dom(f) \subseteq dom(m)$
よって

\begin{displaymath} (x \in dom(m) ~and~ y \in E ~and~ y \le x) \Rightarrow y \in dom(m) \end{displaymath}

従って,$dom(m)$は$E$の切片。


\begin{displaymath} z \in Rang(m), w \in F, w \le z \end{displaymath}

とすると$Rang(m)$の定義から $z \in Rang(f), f \in {\cal L}$となる$f$が存在し,
$Rang(f)$は$F$の切片ゆえ $y \in Ran(f) \subseteq Rang(m)$
よって

\begin{displaymath} (z \in Rang(m) ~and~ w \in F ~and~ z \le w) \Rightarrow w \in Rang(m) \end{displaymath}

従って,$Rang(m)$は$F$の切片。


\begin{displaymath} x,y \in dom(m) ~and~ x < y \end{displaymath}

とすると$dom(m)$の定義から $x \in dom(f), y \in dom(g),f,g \in {\cal L}$となる$f,g$が存在し,

${\cal L}$は全順序部分集合ゆえ

\begin{displaymath} (x,y \in dom(f)~and~ f(x)=m(x)~and~f(y)=m(y) ) ~or ~　(x,y \in dom(g) ~and~ g(x)=m(x) ~and~ g(y)=m(y) \end{displaymath}

どちらにしても,$f,g$は同型写像ゆえ

\begin{displaymath} m(x) < m(y) \end{displaymath}

よって

\begin{displaymath} (x,y \in dom(m) ~and~ x < y) \Rightarrow m(x) < m(y) \end{displaymath}

よって $m \in {\cal K}$
$m$の構成の仕方から

\begin{displaymath} (\forall f \in {\cal L})(f \le m) \end{displaymath}

よって,${\cal K}$は帰納的。

極大元 ${\cal K}$は帰納的だから, ${\bf ツォルン（Z\ddot{o}rn）の補題} $ により${\cal K}$の極大元$m$が存在。 この$m$について


\begin{displaymath} dom(m) \ne E ~and~ Rang(m) \ne F \end{displaymath}

とおくと,
$dom(m)$ は $E$と異なる切片集合ゆえ, $x_m \in E$が存在し


\begin{displaymath} dom(m)=(\leftarrow, x_0) \ne E \end{displaymath}

$Rang(m)$ は $F$と異なる切片集合ゆえ, $y_0 \in F$が存在し


\begin{displaymath} Rang(m)=(\leftarrow, y_0) \ne F \end{displaymath}

しかし,

\begin{eqnarray*} &&l=(G_l,dom(l),Rang(l))\\ &&G_l=G_m \bigcup \{ (x_0,y_0) \... ..., x_0] \\ &&Rang(l)=Rang(m) \cup \{ y_0 \}=(\leftarrow, y_0] \end{eqnarray*}

とおくと$l$の構成の仕方から

\begin{displaymath} l \in {\cal K}, m < l \end{displaymath}

となり$m$が極大元であることの矛盾
[証明終]

[同型定理の系]

  1. 整列集合$E$について

    \begin{displaymath} (\forall E_1 \subseteq E ~and~Eの切片 ) (\forall f: E からE_1への同型) (f =id_E) \end{displaymath}

  2. 整列集合$E,F$について

    \begin{displaymath} (f: E からFの切片F_1への同型~and~g: F からEの切片E_1への同�... ...ghtarrow (E_1=E ~and~ F_1=F)~and~f=g^{(-1)}~and~ g=f^{(-1)} \end{displaymath}

  3. 整列集合$E$について

    \begin{displaymath} (\forall E_1 \subseteq E)(\exists E_2 \subseteq E ~and~Eの切片 ) (\exists f) (f: E_1 からE_2への同型) \end{displaymath}

[系証明]

  1. 恒等写像$id_E$は$E$から$E$への整列順序についての同型。 $E$自身も$E$の切片であるので,定理で$E=F$とすれば明らか。

  2. \begin{displaymath} (f: E からFの切片F_1への同型~and~g: F からEの切片E_1への同型) \end{displaymath}

    とすると, 合成写像

    \begin{displaymath}g \circ f: E \rightarrow E\end{displaymath}

    は$E$から$E$への整列順序についての同型　
    よって系1から

    \begin{displaymath}g \circ f=id_E\end{displaymath}

    同様に 合成写像

    \begin{displaymath}f \circ g: F \rightarrow F\end{displaymath}

    は$F$から$F$への整列順序についての同型
    よって系1から

    \begin{displaymath}f \circ g=id_F\end{displaymath}

    よって

    \begin{displaymath} (E_1=E ~and~ F_1=F)~and~f=g^{(-1)}~and~ g=f^{(-1)} \end{displaymath}


  3. \begin{displaymath}E_1 \subseteq E\end{displaymath}

    をとり,整列可能性の定理により,整列順序を入れる。
    同型定理によれば, $E$から$E_1$のある切片$F$への整列順序についての同型が存在する　
    かあるいは　
    $E_1$から$E$のある切片$E_2$への整列順序についての同型が存在する　
    である。 従って,$E$から$E_1$と異なる切片$F$への整列順序についての同型が存在しないことを 示せばよい。

    そのような同型$g$と切片$F$が存在したとすると,
    $F$は$E_1$と異なるから$e \in E_1$が存在して

    \begin{displaymath} F=(\leftarrow,e)_{E_1} \end{displaymath}

    $g$は同型ゆえ,$E$から $F \subseteq E_1$への真に増加な写像
    よって

    \begin{displaymath}g(e) \in F=F=(\leftarrow,e)_{E_1}\end{displaymath}

    から $ g(e) <_{E_1} e$

    \begin{displaymath} G=\{y\vert y \in E ~and~ g(y) <_{E_1} y \} i \end{displaymath}

    とすると,$G \ne \phi$ゆえ$m = min (G)$が存在する。

    \begin{eqnarray*} &&x < m \Leftrightarrow x \notin G \\ &&\Rightarrow x \le_{... ...&\Rightarrow x \le_{E_1} g(x)<_{E_1} g(m) <_{E_1} m ~~(m \in G) \end{eqnarray*}

    となり矛盾。

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Yasunari SHIDAMA