Z$\ddot{o}$rnの補題

[命題]

順序集合$\Gamma$の任意の整列部分集合$\Lambda$が$\Gamma$で上に有界であるとする．このとき$\Gamma$には極大元が存在する．

[証明]
$\Gamma$の順序を$\Delta$とする。

$${\cal C}=\{\Lambda \vert \Lambda \subseteq \Gamma ~and ~(\e... ...ma \setminus \Lambda)((\forall g \in \Lambda)(g \le_\Delta p)$$

とし,集合族

$$\{ X_\Lambda \}_{\Lambda \in {\cal C}},~~X_\Lambda={p\vert ... ...inus \Lambda) ~and~ ((\forall g \in \Lambda)(g \le_\Delta p)}$$

に選択公理を適用すれば,

$$\tau \in \prod_{\Lambda \in {\cal C}} X_\Lambda$$

が存在して, 任意の $\Lambda \in {\cal C}$に対して

$$\tau(\Lambda) \in \Gamma \setminus \Lambda,~~and~ ((\forall g \in \Lambda)(g \le \tau(\Lambda))$$

[ツェルメロの定理] の証明に用いた補題を適用すると,

$$\Lambda \subseteq \Gamma ,R \subseteq \Lambda \times \Lambda ~and~ Rは\Lambda 上の整列順序$$

が存在し以下を充たす。

$$\begin{eqnarray*} &&\{ (\forall x \in \Lambda )( (\leftarrow,x)_R \in {\cal C} ... ...e_R x \} \\ &&で, 順序z \le_R xはRで定義される。((z,x) \in R) \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} && x<_R y \Leftrightarrow (x,y) \in R ~and~ x \ne y \\ && \... ...lta \tau((\leftarrow,y)_R)=y ~and~ x \ne y \\ && x <_\Delta y \end{eqnarray*}$$

すなわち

$$x \in \Lambda \mapsto x \in \Gamma$$

は順序 $R$と$\Delta$について真に単調増加。

$$x \le_\Delta y$$

とし,

$$y <_R x$$

とすると,恒等写像が単調増加だから

$$y <_\Delta x$$

となり矛盾。よって

$$x \le_\Delta y \Rightarrow x \le_R y$$

結局

$$(\forall x,y \in \Lambda)(x \le_\Delta y \Leftrightarrow x \le_R y)$$

ゆえに

$$R=\Delta \bigcap (\Lambda \times \Lambda)$$

よって,$\Lambda$は$\Gamma$の順序について整列部分集合 従って,上に上に有界であるから,　
$p \in \Gamma$が存在して

$$(\forall x \in \Lambda)(x \le_\Delta p)$$

一方,

$$\Lambda \ne {\cal C} \}$$

ゆえ,

$$not (\exists p:p \in \Gamma \setminus \Lambda) ((\forall g \in \Lambda)(g \le_\Delta p)$$

従って,

$$p \le q$$

となる$q \in \Gamma$について

$$q \ne p$$

とすると,

$$q \in \Gamma \setminus \Lambda$$

から

$$((\forall g \in \Lambda)(g \le_\Delta p)$$

となり矛盾。よって

$$p \le q ~and~q \in \Gamma \Rightarrow p=q$$

よって$p$は極大元
[証明終]

この命題から以下が得られます。

${\bf ツォルン（Z\ddot{o}rn）の補題}$

順序集合$\Gamma$の任意の全順序部分集合$\Lambda$が$\Gamma$で上に有界であるとする． このとき$\Gamma$には極大元が存在する．

[証明] 整列順序集合は全順序集合であり

補題の前提条件　$\Rightarrow$ 命題の前提条件　$\Rightarrow$　極大元の存在 となっています。

[証明終]