論理式としての等式

中学校以来慣れ親しんでいる文字式の等式

$$(x+y)^2=x^2+2x \cdot y+y^2$$

は左辺と右辺は形の上では異なるが，$x,y$に任意の値を代入しても一致する。 この意味で$=$が用いられた。同様に論理式の$=$も定義できる。

$X_1,X_2,\dots,X_n$についての２つの論理式

$${\cal P}(X_1,X_2,\dots,X_n), \quad {\cal Q}(X_1,X_2,\dots,X_n)$$

が与えられたとき，これらで定義される２つの真理関数

$$\phi:(Y_1,Y_2,\dots,Y_n) \in {\bf V}^n \mapsto {\cal P}(Y_1,Y_2,\dots,Y_n) \in {\bf V}$$ (1.3)

$$\eta:(Y_1,Y_2,\dots,Y_n) \in {\bf V}^n \mapsto {\cal Q}(Y_1,Y_2,\dots,Y_n) \in {\bf V}$$ (1.4)

の任意の

$$(Y_1,Y_2,\dots,Y_n) \in {\bf V}^n$$

について（即ち ${\bf V}=\{T,F\}$での任意の値の組み合わせについて） 常に

$$\phi(Y_1,Y_2,\dots,Y_n)=\eta(Y_1,Y_2,\dots,Y_n)$$ (1.5)

が成り立つときに等号$=$を用いて

$${\cal P}(X_1,X_2,\dots,X_n)={\cal Q}(X_1,X_2,\dots,X_n)$$ (1.6)

と書くことにする。定理1.1は左辺で定義される論理式と 右辺で定義されるそれとが値が常に一致することを示し，従って今定義した$=$の条件をみたすことになり，以下の自明な結果が得られる。

定理1.2

　以下の論理式としての等式が成り立つ。

(i).

$\neg T = F$, $\neg F = T$

(ii).

$X \land T = X$, $X \lor F = X$

(iii).

$X \land F = F$, $X \lor T = T$

(iv).

$\neg\neg X = X$     （二重否定の法則）

(v).

$X \land X = X$, $X \lor X = X$     （巾等律）

(vi).

$X \land \neg X = F$     （矛盾律）,          $X \lor \neg X = T$     （排中律）

(vii).

$X \land Y = Y \land X$, $X \lor Y = Y \lor X$      （交換法則）

(viii).

$X \land (Y \land Z) = (X \land Y) \land Z$     （結合法則）

(ix).

$X \lor (Y \lor Z) = (X \lor Y) \lor Z$     （結合法則）

(x).

$X \land (X \lor Y) = X$     （吸収法則）

(xi).

$X \lor (X \land Y) = X$     （吸収法則）

(xii).

$X \land (Y \lor Z) = (X \land Y) \lor (X \land Z)$      （分配法則）

(xiii).

$X \lor (Y \land Z) = (X \lor Y) \land (X \lor Z)$      （分配法則）

(xiv).

$\neg (X \land Y) = \neg X \lor \neg Y$      （ド・モルガンの法則）

(xv).

$\neg (X \lor Y) = \neg X \land \neg Y$      （ド・モルガンの法則）

(xvi).

$X \Rightarrow Y = \neg X \lor Y$