$2$変数式の標準形

さて，上の $\phi(T),\phi(F),\eta(T,T),\eta(T,F),\eta(F,T),\eta(F,F)$ は何れも ${\bf V}=\{T,F\}$の元でありそれぞれの値によって， 式がさらに短くなる。

$X \land Y$などを基本積と呼ぶことにすると、 以下のように$\eta(X,Y)$の真理値とそれに付随する基本積の表

$X$	$Y$	$\eta(X,Y)$	基本積
$T$	$T$	$v_1$	$X \land Y$
$T$	$F$	$v_2$	$X \land \neg Y$
$F$	$T$	$v_3$	$\neg X \land Y$
$F$	$F$	$v_4$	$\neg X \land \neg Y$

を作成し，$\eta(X,Y)$の真理値 $v_i (i=1,2,3,4)$が$T$となる基本積 のみの論理和$\lor$で結合した論理式に等しいことがわかる。 これを 主$\lor$標準形という。

また，同様に $X \lor Y$などを基本和と呼ぶことにすると。 以下のように$\eta(X,Y)$の真理値とそれに付随する基本和の表

$X$	$Y$	$\eta(X,Y)$	基本和
$T$	$T$	$v_1$	$\neg X \lor \neg Y$
$T$	$F$	$v_2$	$\neg X \lor Y$
$F$	$T$	$v_3$	$X \lor \neg Y$
$F$	$F$	$v_4$	$X \lor Y$

を作成し，$\eta(X,Y)$の真理値 $v_i (i=1,2,3,4)$が$F$となる基本和 のみの論理積$\land$で結合した論理式に等しいことがわかる。これを 主$\land$標準形という。

例をみよう。

$$\begin{array}{\vert cc\vert\vert c\vert c\vert c\vert c\vert}... ...T & F & \neg X \land \neg Y & X \lor Y\\ \hline \end{array}$$

なる2変数真理関数 $F,G$ を主$\lor$-標準形で表わせば、次のようになる:

[$F$ の主$\land$-標準形]
第1行だけに着目する。

第1行に対して $\neg X \lor \neg Y$

１項しかないので$\land$で結合するまでもなく。

$$\neg X \lor \neg Y$$

が得られる。

[$G$ の主$\land$-標準形]
第1,4行に着目する。 第1行に対して $\neg X \lor \neg Y$ をつくる。         第4行に対して $X \lor Y$
これらを$\land$で結合すれば

$$(X \lor Y) \land (\neg X \lor \neg Y)$$

が得られる。 $\Box$

[$F$ の主$\lor$-標準形]
第2,3,4行に着目する。 第2行に対して $X \land \neg Y$ をつくる。         第3行に対して $\neg X \land Y$
        第4行に対して $\neg X \land \neg Y$

これらを$\lor$で結合すれば

$$(\neg X \land \neg Y) \lor (\neg X \land Y) \lor (X \land \neg Y)$$

が得られる。

[$G$ の主$\lor$-標準形]
第2,3行に着目する。 第2行に対して $X \land \neg Y$ をつくる。         第3行に対して $\neg X \land Y$

これらを$\lor$で結合すれば

$$(\neg X \land Y) \lor (X \land Y)$$

が得られる。 $\Box$