線形空間

ここで, 集合${\bf R}$やそれから作られる$n$次元数ベクトル空間${\bf R^n}$について復習してみます。

${\bf R}$についてはそれらの要素の間に加算と乗法が定義され以下が成り立っていました。

$$\begin{eqnarray*} && 任意のx,y \in {\bf R}について x+y=y+x\\ && 任意のx,y,z \in... ...in {\bf R}と任意のx\in {\bf R} (\alpha \beta)x =\alpha( \beta x) \end{eqnarray*}$$

${\bf R^n}$についても${\bf R}$のように要素間に加法が定義されていました。 ${\bf R}$のように要素の間の 乗法は定義されませんが,${\bf R}$との${\bf R^n}$の乗法が定義され,以下が成り立っていました。

${\bf R^n}$の要素

$${\bf x}=\left ( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \dots\\ x_n... ... y_1\\ y_2\\ \dots\\ y_n \end{array}\right ) \in {\bf R^n}$$

の加算は

$${\bf x}+{\bf y}=\left ( \begin{array}{c} x_1+y_1\\ x_2+y_2\\ \dots\\ x_n +y_n \end{array}\right )$$

で定義され,${\bf R}$との${\bf R^n}$の乗法は

$$\alpha {\bf x} =\left ( \begin{array}{c} \alpha x_1\\ \alpha x_2\\ \dots \\ \alpha x_n \end{array}\right)$$

で定義されていました。さらに ${\bf0} \in {\bf R^n}$と ${\bf -x} \in {\bf R^n}$は

$${\bf0}=\left ( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \dots\\ 0 \end{array}\right )$$

$${\bf -x}=\left ( \begin{array}{c} -x_1\\ -x_2\\ \dots\\ -x_n \end{array}\right )$$

で定義され以下が成り立っていました。

$$\begin{eqnarray*} && 任意の{\bf x,y} \in {\bf R^n}について {\bf x+y=y+x} \\ && ... ... {\bf R} と任意の{\bf x }\in {\bf R^n}について1{\bf x }={\bf x } \end{eqnarray*}$$

これら性質はの性質が一般化されたものと言えます。${\bf R^n}$は${\bf R}$上の線形空間であると呼ばれます。 さらに一般化すると,集合${\bf V}$の要素の間に加算と,${\bf R}$との乗法が定義され以下が成り立ってい いる場合${\bf V}$は${\bf R}$上の線形空間であると呼ばれます。

$$\begin{eqnarray*} && 任意の{\bf x,y} \in {\bf V}について {\bf x+y=y+x}\\ && 任.. ...in {\bf R} と任意の{\bf x }\in {\bf V}について1{\bf x }={\bf x } \end{eqnarray*}$$

さて,線形空間は数ベクトル空間に限りません。関数の集合もベクトル空間になります。 ここで調べようとしている関数の集合$E$も同様な数学的な構造をもっています。 まず,

$${\cal F}([0,1],{\bf R})=\{f\vert f:[0,1]から{\bf R}への関数 \}$$

という集合を考えます。 ${\cal F}([0,1],{\bf R})$の要素

$$f,g \in {\cal F}([0,1],{\bf R})$$

には次のようにして加法$f+g$が定義できます。

$$f+g: x \in[0,1] \mapsto f(x)+g(x) \in {\bf R}$$

上の式の意味は$[0,1]$の任意の元$x \in[0,1]$に対して$f(x)+g(x)$を対応させる関数で関数$f+g$ を定義するという意味です。
同様に, $\alpha \in {\bf R}$と $f \in{\cal F}([0,1],{\bf R})$の乗法$\alpha f$は

$$\alpha f: x \in[0,1] \mapsto \alpha f(x) \in {\bf R}$$

で定義します。 この式の意味は$[0,1]$の任意の元$x \in[0,1]$に対して$\alpha f(x)$を対応させる関数で関数$\alpha f$ を定義するという意味です。

全く同様に $-f \in{\cal F}([0,1],{\bf R})$, $0 \in{\cal F}([0,1],{\bf R})$もそれぞれ

$$-f: x \in[0,1] \mapsto -f(x) \in {\bf R}$$

と

$$0: x \in[0,1] \mapsto 0 \in {\bf R}$$

で定義します。このような定義のもとに, ${\cal F}([0,1],{\bf R})$は${\bf R})$上の線形空間になっています。

[問題3.1] ${\bf V}={\cal F}([0,1],{\bf R})$として,線形空間の条件を充たしていることを確認してください。