${\cal L}(\vec{E};\vec{F})$空間

前章で $Fr \acute{e} chet$微分

$$L_f \ : \ \vec{E} \rightarrow \vec{F}$$

を定義しましたがたが，これは $\vec{E}$から$\vec{E}$への連続線形写像でした。
最後にこの章で$\vec{E}$から$\vec{E}$への連続線形写像全体の 空間の構造について調べておきましょう。

$${\cal L}(\vec{E};\vec{F}) = \{P ; P: \vec{E} \to \vec{F},連続,線形\}$$

とし， $P \in {\cal L}(\vec{E};\vec{F})$のノルムを

$$\Vert P\Vert _{\cal L} \mbox{$\stackrel{\triangle}{=}$}\sup... ... \frac{\Vert P(x)\Vert _{\vec{F}}} {\Vert x\Vert _{\vec{E}}}$$ (0.1)

と定義します。

[定理]

$\vec{F}$がBanach空間ならば ${\cal L}(\vec{E};\vec{F})$は Banach空間になる。

証明 $P_1,P_2 \in {\cal L}(\vec{E};\vec{F})$とすれば， 任意の $\alpha,\beta \in {\bf R}$について，

$$\alpha P_1+ \beta P_2 \in {\cal L}(\vec{E};\vec{F})$$

です。従って， ${\cal L}(\vec{E};\vec{F})$は線形空間です。

$\{P_n\} \subseteq {\cal L}(\vec{E};\vec{F})$が $\Vert\cdot \Vert _{\cal L}$ノルムの意味でCaushy列と仮定すると

$$\forall \varepsilon ,\exists N(\varepsilon) , \forall m,n > N(\varepsilon)$$

$$\Vert P_m - P_n \Vert _{\cal L} < \varepsilon$$ (0.2)

(1)より

$$\Vert P_m - P_n \Vert _{\cal L} = \sup_{\Vert x\Vert _{\vec{E... ..._n(x)\Vert _{\vec{F}}} {\Vert x\Vert _{\vec{E}}} < \varepsilon$$

これより

$$\forall \varepsilon ,\exists N(\varepsilon) ,\forall m,n > N(\varepsilon) \forall x\in \vec{E}$$

$$\Vert P_m(x)-P_n(x)\Vert _{\vec{F}} < \varepsilon$$

したがって$\{P_n(x)\}$ は $\Vert \cdot \Vert _{\vec{F}}$ノルムの意味で Caushy列となります。
$\vec{F}$はBanach空間ですから、完備なので $\forall x\in \vec{E}$に対して

$$\exists Y = \lim_{m \to \infty}P_m(x), \qquad Y \in \vec{F}$$

$Y = P(x)$とおくと

$$P(\alpha x+ \beta y) = \lim_{m \to \infty}P_m(\alpha x+ \beta y)$$

$$= \lim_{m \to \infty}\{\alpha P_m(x) + \beta P_m(y)\} \quad(∵P_m : 線形)$$

$$= \alpha \lim_{m \to \infty}P_m(x) + \beta \lim_{m \to \infty}P_m(y)$$

$$= \alpha P(x) + \beta P(y)$$

ゆえに$P$の線形性が示されました。
次に連続であることを示します。(2)より

$$\Vert P_n\Vert _{\cal L} \le \Vert P_m\Vert _{\cal L}+\varepsilon$$ (0.3)

$z\in \vec{E}$に対して

$$\Vert P_n z)\Vert _{\vec{F}} \le \Vert P_n\Vert _{\cal L}\cdot\Vert z\Vert _{\vec{E}}$$

$$\le (\Vert P_m\Vert _{\cal L} + \varepsilon)\Vert z\Vert _{\vec{E}} \qquad((\ref{g})によります)$$

$$\lim_{n \to \infty}\Vert P_nz)\Vert _{\vec{F}} \le (\Vert P_m\Vert _{\cal L} + \varepsilon)\Vert z\Vert _{\vec{E}}$$

$$K=\varepsilon + \Vert P_m\Vert _{\cal L}$$

とすると

$$\Vert P(z)\Vert _{\vec{F}} \le K\Vert z \Vert _{\vec{E}}$$

よって$P$は連続となります。結局 $P \in {\cal L}(\vec{E};\vec{F})$です。
したがって

$$\Vert P_n(x)-P(x)\Vert _{\vec{F}} \to 0 \qquad (n \to \infty)$$

$$∴\sup_{\Vert x\Vert _{\vec{E}} \not= 0} \frac{\Vert P_n(x)-P(x)\Vert _{\vec{F}}}{\Vert x\Vert _{\vec{E}}} \to 0 \qquad (n \to \infty)$$ (0.4)

ゆえに(1),(4)より

$$\Vert P_n - P\Vert _{\cal L} = \sup_{\Vert x\Vert _{\vec{E}} \not= 0} \frac{\Vert P_n(x) - P(x)\Vert _{\vec{F}}} {\Vert\vec{E}\Vert _{\vec{E}}}$$

$$\to 0 \qquad (n \to 0)$$

以上より$\{ P_n \}$は収束するので完備性が示されました。 ${\cal L}(\vec{E};\vec{F})$ はノルム空間ですからBanach空間になっています。