を体とし, を 上の線形空間とする. を の部分空間全体の 集合とする.(線形空間,線形空間の部分空間の説明は省略します.)このとき,
を任意にとると, は の部分線形空間で も部分線形空間.
(実際,
を任意にとると,
ゆえ
が の下界とすると;
を任意にとると,
から
で
よって,
は有限個の の元, は有限個の の元
とおくと, は の部分線形空間,
(実際
を任意にとると,
よって
ゆえに,
を の部分線形空間として, の上界,
すなわち
とすると,
を任意にとると,
有限個の
が存在して
結局,
[(1)の証明終]
を任意にとると, の定義から
を任意にとると
よって
任意の について で, は の下界.
が の下界とすると;
を任意にとると,
作り方から
で は
の上界.
を の部分線形空間として, の上界,すなわち,
とすると
を任意にとると,
有限個の
が存在して