集合論の公理系

集合論では今まで述べた「述語論理の公理」に集合論の固有の公理が加わります。 これらは,述語論理の恒真式の集まりである公理と異なり,真であると仮定する関係式です。

以下にそれを述べておきましょう。これは公理系$ZF$(Zermero, Fraenkelの公理系） と呼ばれるものです。

1. 外延性の公理

   
   

   $$(\forall X)(\forall Y) \left \{ (\forall z)(z \in X \Leftrightarrow z \in Y) \Rightarrow X=Y ) \right \}$$
   
   

   これは,二つの集合$X,Y$が「等しい」ことの定義を与えます。

2. 非順序対の対公理

   
   

   $$(\forall a)(\forall b)(\exists Z) \left \{ (\forall x)(x \in Z \Leftrightarrow (x=a \ or \ x=b) ) \right \}$$
   
   

   これは,二つの対象$a,b$が与えらときに,これら要素からなる集合$Z=\{a ,b \}$の存在することを示します。

3. 合弁の公理
   
   $$(\forall {\cal F}) (\exists {\cal Z}) \left \{ (\forall ... ...ow (\exists W) (x\in W \ and \ W \in {\cal F }) \right \}$$
   
   
   これは例えば,複数の集合の集合
   
   $${\cal F}=\left \{ X_1,X_2, X_3,\cdots X_n \right \}$$
   
   
   が与えられたときに,これらの全ての合弁
   
   $$X_1 \cup X_2 \cup X_3 \cdots \cup X_n$$
   
   
   が存在することを示します。

4. 空集合の存在公理
   
   $$(\exists X)(\forall y)(not \ (y\in X))$$
   
   
   要素を一つも持たない集合の「存在」を意味します。そのような集合は,後で説明しますが,唯一ですので$\phi$で表すことにします。

5. べき集合の公理
   
   $$(\forall X)(\exists Y) (\forall z) (z \in Y \Leftrightarrow z \subseteq X )$$
   
   
   これは集合$X$が与えられたときにその$X$の部分集合全体からなる集合の存在を 示しています。そのような集合を$X$のべき集合と呼びます。 例えば
   
   $$X=\left \{ 0,1,2 \right \}$$
   
   
   のとき$X$のべき集合は
   
   $$\left \{ \phi, \left \{ 0 \right \}, \left \{ 1 \right... ...left \{ 1, 2 \right \}, \left \{ 0,1, 2 \right \} \right \}$$
   
   
   です。
6. 無限集合の存在公理
   
   $$(\exists X)(Card(X)=Card(X)+1)$$
   
   

7. 正則性の公理
   
   $$(\forall X) (X \neq \phi \Rightarrow (\exists Y) (Y \in X and X \cap Y = \phi)$$
   
   

   これは,空でない集合で,それ自身の要素との共通部分が空でないというような 「病的な集合」は存在しないということを意味します。

8. 選択公理

   集合族 $\{P_i\},i\in I$について,

   
   

   $$\prod_{i \in I} P_i =\{f｜f：Iから\cup_{i \in I} P_iへの写像で、（\forall \in I）（f(i)\in P_i)\}$$
   
   
   について：
   
   $$(\forall i\in I)(P_i\neq \phi)~（総てのiについてP_iが空集合でないという意味）$$
   
   
   のとき，
   
   
   $$\prod_{i \in I} P_i \neq \phi$$
   
   

   集合論では以下の推論規則が追加されます。

9. 置換の推論規則
   
   $$\frac{ (\forall x)(\forall y)(\forall z) ({\cal P}(x,y) \ ... ...ow (\exists x)(x \in A \ and \ {\cal P}(x,y)) \right \} }$$
   
   
   ただし関係式${\cal P}(x,y)$には$B$は現れないものとします。 これは関係式${\cal P}(x,y)$を用いて関数を定義するときなどに用います。

   ただし関係式 ${\cal P}(x,y,z)$には$C$は現れないものとします。