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集合の差

集合の差は以下で定義されます。

定義：集合の差

$\begin{displaymath}A \setminus B = A \cap B' \end{displaymath}$

以下の命題群が成り立ちます。

命題2.3.1

$\begin{displaymath}A \setminus B = A \setminus (A \cap B')\end{displaymath}$

証明

$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \setminus B \Leftrightarrow x... ...notin B \\ && \Leftrightarrow x \in A \setminus B \qquad \Box \end{eqnarray*}$

命題2.3.2

$\begin{displaymath}A \setminus B=(A \cup B) \setminus B \end{displaymath}$

証明

$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in (A \cup B) \setminus B \Leftrig... ... &&∴ \quad A \setminus B=(A \cup B) \setminus B \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$

命題2.3.3

$\begin{displaymath}(A \setminus B) \setminus C=A \setminus (B \cup C) \end{displaymath}$

証明

$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in (A \setminus B) \setminus C \Le... ...inus C \Leftrightarrow x \in A \setminus (B \cup C) \qquad \Box \end{eqnarray*}$

命題2.3.4

$\begin{displaymath}A \setminus (B \setminus C)=(A \setminus B) \cup (A \cap C) \end{displaymath}$

証明

$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \setminus (B \setminus C) \Le... ...rightarrow x \in (A \setminus B) \cup (A \cap C) \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$

命題2.3.5

$\begin{displaymath}(A \cup B) \setminus C=(A \setminus B) \cup (B \setminus C) \end{displaymath}$

証明

$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in (A \cup B) \setminus C \Leftrig... ...htarrow x \in (A \setminus B) \cup (B \setminus C)\qquad\Box\\ \end{eqnarray*}$

命題2.3.6

$\begin{displaymath}A \setminus (B \cup C)=(A \setminus B) \cap (A \setminus C) \end{displaymath}$

証明

$\begin{eqnarray*} &&xを任意にとると\\ &&x \in A \setminus (B \cup C) \Leftrig... ...arrow x \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C) \qquad \Box\\ \end{eqnarray*}$

Yasunari SHIDAMA