真理値

ここで $x = 1$ という関係式を${\cal P}$で表すと,上の１番目の関係式は

$$not~ {\cal P}$$

と書かれます。同様に

$$x = 1 ,y = 1$$

を${\cal P,Q}$で表すと, ２番目,３番目の関係式は

$${\cal P}~and~{\cal Q}$$

$${\cal P}~or~{\cal Q}$$

書かれます。このように具体的な$x = 1 ,y = 1$の替わりに用いた ${\cal P,Q}$をメタ記号と言います。

$1=1$や$0 < 1$などの真な関係式を、その内容を無視して全て同じ物と見なし$T$で, 同様に$1=2$や$2 < 1$などの偽な関係式を全て同じ物と見なして$F$で表してみます。 この$T,F$を真理値と呼びます。

すると${\cal P,Q}$は真理値の集合$\{T,F\}$上の変数と見ることができます。そのようにすると前述の関係式の真偽は${\cal P,Q}$が$\{T,F\}$のどの値をとるかによって決まる以下のような「代数的演算」によって決まることが判ります。

$not~ {\cal P}$については

$$\begin{eqnarray*} &&not~ T=F \\ &&not~ F=T \end{eqnarray*}$$

${\cal P}~and~{\cal Q}$については

$$\begin{eqnarray*} &&T~and~T=T \\ &&T~and~F=F \\ &&F~and~T=F \\ &&F~and~F=F \\ \end{eqnarray*}$$

${\cal P}~or~{\cal Q}$については

$$\begin{eqnarray*} &&T~or~T=T \\ &&T~or~F=T \\ &&F~or~T=T \\ &&F~or~F=F \\ \end{eqnarray*}$$

です。