定義

$f=(G_f ,X,Y)$が$X$から$Y$への写像 $\stackrel{def}{\Leftrightarrow}$

$$\begin{eqnarray*} && (G_f \subseteq X\times Y) \\ &&~and~(\forall x)(\forall ... ...\\ &&and \ \{ y\vert(\exists x)((x,y)\in G_f )\} \subseteq Y \end{eqnarray*}$$

です．

「$f=(G_f ,X,Y)$が$X$から$Y$への写像」を簡単に「$f:X \to Y$と書きます．」

$\left[ {例} \right]$

$$f=(\{ (a,1),(b,0),(c,1)\} ,\{ a,b,c\} ,\{ 1,0\} )$$

$$g=(\{ (a,1),(b,1),(c,1)\} ,\{ a,b,c\} ,\{ 1,0\} )$$

$$h=(\{ (a,0),(b,0),(c,0)\} ,\{ a,b,c\} ,\{ 1,0\} )$$

は何でも$\{ a,b,c\}$から$\{ 1,0\}$への写像です．

$$u=(\{ (x,x^2) \vert x \in R\} ,R,R)$$

は$f(x)=x^2$で表される$R$から$R$への写像です．

$$v=(\{ (x,\sin (x)) \vert x \in R\} ,R,R)$$

は$\sin (x)$で知られる$R$から$R$への写像です．

任意の$x\in X$について$(x,y)\in G_f$となる$y\in Y$は唯一つありますから，この$y$を$f(x)$で表します．$f(x)$を要素$x$の像といいます．

命題3.1.1

$f:X \rightarrow Y$について
$(1)(\forall x\in X)(\forall y\in Y)((x,y)\in G_f \iff y=f(x))$
$(2)G_f =\{ (x,f(x))\vert x\in X\}$

問題
$X=\{ a,b,c\}$
$Y=\{ 1,0\}$
とするとき
$(0)X\times Y$はどのような集合ですか?
$(1)G_f =\{ (a,1),(b,0),(c,1)\}$は写像のグラフになっていますが,
$G_f =\{ (a,1),(b,0),(b,1),(c,1)\}$は写像のグラフになっていません． 理由を述べてください．

$(2)X \times Y$の部分集合で写像のグラフになる$G_f$で条件

$$\{ x\vert(\exists y)((x,y)\in G_f )\} =X$$

を満たすもの全てを列挙してください．