具体的な対応が与えられる写像

前節では,集合の直積を用いて写像を以下のように形式的に定義しました。

$f=(G_f ,X,Y)$が$X$から$Y$への写像 $\stackrel{def}{\Leftrightarrow}$

$$\begin{eqnarray*} && (G_f \subseteq X\times Y) \\ &&~and~(\forall x)(\forall ... ...\\ &&and \ \{ y\vert(\exists x)((x,y)\in G_f )\} \subseteq Y \end{eqnarray*}$$

しかし,この定義では写像$f$のグラフ$G_f$の具体的な構成法については述べられていません。 例えば,実数空間${\bf R}$の元$x$にその絶対値$\vert x\vert$を対応させる写像

$$x \in {\bf R} \mapsto \vert x\vert \in {\bf R}$$

を構成することを考えましょう。 $x$には$x < 0$のとき$-x$が,$x \ge 0$のとき$x$が一意に対応します。

関係式

$$(x \ge 0 \Rightarrow y=x) ~and~ (x \< 0 \Rightarrow y=-x)$$

を ${\cal P}(x,y)$とおくと

$$\begin{eqnarray*} &&(\forall x)(\forall y)(\forall w) ( [\{x \in {\bf R} ~and... ...} ~and~y \in {\bf R} ~and~ {\cal P}(x,w) \} ] \Rightarrow y=w) \end{eqnarray*}$$

が成立つます。第2章の議論により

$$\{z \vert (\exists x)(\exists y)(z=(x,y) ~and~x \in X ~and~y \in Y ~and~{\cal P}(x,y) \} \}$$

という集合が定義できます。これが写像のグラフを定義していることを確かめるのは 容易です。

一般に関係式

$$x \in X ~and~y \in Y ~and~{\cal P}(x,y)$$

について

$$(\forall x)(\exists y)(x \in X ~and~y \in Y ~and~{\cal P}(x,y))$$

と

$$\begin{eqnarray*} &&(\forall x)(\forall y)(\forall w) ( [\{x \in X ~and~y \in... ...x \in X ~and~y \in Y ~and~ {\cal P}(x,w) \} ] \Rightarrow y=w) \end{eqnarray*}$$

が成立つとき

$$\{z \vert (\exists x)(\exists y)(x \in X ~and~y \in Y ~and~ z=(x,y) ~and~{\cal P}(x,y) \} \}$$

という集合が定義でき,写像のグラフを定義します。