逆写像

写像$f:X\to Y$が全単射(双射)のとき:$f=(G_f ,X,Y)$について，
$G_f ^{(-1)}=\{ (y,x)\vert(x,y)\in G_{f} \}$とおき $f^{-1}=(G_{f}^{-1},Y,X)$とすると，これは$Y$から$X$への写像を定義しています．しかもこれは全単射(双射)です．
実際， $G_{f}\subseteq X\times Y$でしたから， $G_{f}^{-1}\subseteq Y\times X$です．
また，任意の $y\in Y,x,w\in X$をとり $(y,x)\in G_{f}^{(-1)},(y,w)\in G_{f}^{-1}$とすると, $(x,y)\in G_{f},(w,y)\in G_{f}$であり,これから$y=f(x),y=f(w)$となり，これから$f$が全単射(双射)である条件によって$x=w~$すなわち$~G_{f}^{-1}$は写像のグラフの定義を満たしています．
$f(X)=Y$からは,

$$\{ y\vert(\exists x)((y,x)\in G_{f}^{-1})\} =\{ y\vert(\exists x)((x,y)\in G_{f})\} =f(X) =Y$$

が成り立っています．また $｛x\vert(\exists y)((y,x)\in G_{f}^{-1})\} =X$も満たされています．以上から $f^{-1}=(G_{f}^{-1},Y,X)$は写像です．
また，任意の$Y$の要素$y,z$について $f^{-1}(y)=f^{-1}(z)$ならば,
$y=f(f^{-1}(y))=f(f^{-1}(z))=z$です．

さらに$Y$の$f^{-1}$による像
$f^{-1}(Y)=｛x\vert x\in X~and~(\exists y\in Y)(x=f^{-1}(y))\}$
$=\{ x\vert x\in X~and~(\exists y)((x,y)\in G_{f})\}$
$=X$
も成り立ちます．
$f=(\{ (a,0),(b,1),(c,2)\} ,\{ a,b,c\} \{ 0,1,2\} )$は双射です．
このとき

$$f^{-1}=(\{ (0,a),(1,b),(2,c)\} ,\{ 0,1,2\} ,\{ a,b,c\} )$$

問題
$X=\{ a,b,c\} ，Y=\{ 0,1,2\}$とします．このとき双射を全て列挙して下さい．いくつあるでしょうか?
注意
$f=(\{ (a,0),(b,1),(c,2)\} ,\{ a,b,c\} \{ 0,1,2\} )$と
$g=(\{ (c,2),(a,0),(b,1)\} ,\{ a,b,c\} \{ 0,1,2\} )$などは同じ写像と見なします．