極大元，極小元，最大元，最小限

順序関係が与えられた$X$の部分集合 $A \subseteq X$ について

$m_0$が$A$の極大元であるとは　$m_0$が$A$の元で，$A$の任意の元$a$に対して　$m_0 \le a$ならば$m_0=a$　であることを言います．
$m_0$が$A$の極大元であるとは：　

$$m_0 \in A~and (\forall a \in A)(m_0 \le a \Rightarrow m_0=a)$$

$l_0$が$A$の極小元であるとは　$l_0$が$A$の元で，$A$の任意の元$a$に対して　$a \le l_0$ならば$l_0=a$　であることを言います．

$l_0$が$A$の極小元である $\Leftrightarrow$　

$$l_0 \in A~and~~(\forall a \in A)(a \le l_0 \Rightarrow l_0 = a)$$

$m$が$A$の最大元であるとは　$m$が$A$の元で，$A$の任意の元$a$に対して　$a \le m$　であることを言います．
$m$が$A$の最大元である $\Leftrightarrow$

$$m \in A~and~(\forall a \in A)(a \le m)$$

$l$が$A$の最小元であるとは　$l$が$A$の元で，$A$の任意の元$a$に対して　$l \le a$　であることを言います． 　　$l_0$が$A$の最小元である $\Leftrightarrow$　

$$l_0 \in A~and~(\forall a \in A)(l_0 \le a)$$

最大元，最小元は存在すればそれぞれ唯一つです．

[証明] もし，$m_1$と$m_2$が$A$の最大元なら定義により

$$m_1 \in A~and~(\forall a \in A)(a \le m_1 )$$

$$m_2 \in A~and~(\forall a \in A)(a \le m_2 )$$

$m_1$と$m_2$は$A$の元ですから，1番目の式の$a$に$m_2$を代入し，2番目の式の$a$に$m_1$を代入すると 　　　　

$$m_2 \le m_1, \ 　m_1 \le m_2$$

これから$m_1=m_2$です．最小元についても全く同様にできます． [証明終り]

問題

以下を示して下さい．

（1）　最大元，最小元はそれぞれ極大元，極小元でもあります．

（2）　最大元，最小元はそれぞれ上限，下限でもあります．

問題

$R$を実数の集合とし，$R$上の順序は中学校時代から習っている大小関係$\le$とします．

$a < b$ のとき $A = (a,b] = \{ x \in R\vert a < x \le b\}$

について

(1) $R$での$A$の上界全体の集合$U[A]$と下界全体の集合$L[A]$を求めてください．

(2) $R$での$A$の上限，下限は存在しますか？　存在すればそれぞれ求めてください．

(3) $R$での$A$の最大元，最小元は存在しますか？　存在すればそれぞれ求めてください．

$Q$を有理数全体の集合とします． $B = \{ x \in Q\vert 1 < x < \sqrt 2 \}$ について

(4) $R$での$B$の上界全体の集合$U[B]$と下界全体の集合$L[B]$を求めてください．

(5) $R$での$B$の上限，下限は存在しますか？　存在すればそれぞれ求めてください．

(6) $R$での$B$の最大元，最小元は存在しますか？　存在すればそれぞれ求めてください．

(7) $Q$での$B$の上界全体の集合$U[B]$と下界全体の集合$L[B]$を求めてください．

(8) $Q$での$B$の上限，下限は存在しますか？　存在すればそれぞれ求めてください．

(9) $Q$での$B$の最大元，最小元は存在しますか？　存在すればそれぞれ求めてください．

問題

$$X=\{ a,b,c,d,e\}$$

$$\begin{eqnarray*} &&S=\{ (a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,d),(b,e),\\ &&(c,c),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)\} \end{eqnarray*}$$

$$A=\{ a,b,c\}$$

とするとき

(1)　$X$での$A$の上界全体の集合$U[A]$と下界全体の集合$L[A]$を求めてください．

(2)　$X$での$A$の上限，下限は存在しますか？　存在すればそれぞれ求めてください．

(3)　$X$での$A$の最大元，最小元は存在しますか？　存在すればそれぞれ求めてください．