増加写像・減少写像

　

$E,F$を順序集合とします。
$x,y\in E$の順序関係を

$$x \le_E y$$

で表し, $p,q\in F$の順序関係を

$$p \le_F q$$

で表すことにします。

写像

$$f :E \rightarrow F$$

が与えられたとき, 増加・減少・真に増加・真に減少を 以下のように定義します。

$$f :増加　\stackrel{def}{\Leftrightarrow} (\forall x,y\in E)(x \le_E y \Rightarrow f(x) \le_F f(y))$$

$$f :減少　\stackrel{def}{\Leftrightarrow} (\forall x,y\in E)(x \le_E y \Rightarrow f(y) \le_F f(x))$$

$$x <_E y \stackrel{def}{\Leftrightarrow} x \le_E y ~and x \ne y$$

$$p <_F q \stackrel{def}{\Leftrightarrow} p \le_F q ~and p \ne q$$

とするとき,

$$f :真に増加　\stackrel{def}{\Leftrightarrow} (\forall x,y\in E)(x <_E y \Rightarrow f(x) <_F f(y))$$

$$f :真に減少　\stackrel{def}{\Leftrightarrow} (\forall x,y\in E)(x <_E y \Rightarrow f(y) <_F f(x))$$