分割，同値類

$X$上の同値関係$R$について,$X$の元$x$と同値な$X$の元$y$全体の集合を$\rho (x)$で表します．

$$\rho (x) := \{ y\vert xRy \}$$

これを$x$の同値類と呼びます． このとき

$$\begin{eqnarray*} && (1) (\forall y \in X)(y \in \rho (x) \Leftrightarrow xRy )... ...eftrightarrow xRy ) \\ && (4) \bigcup_{x \in X} \rho (x) = X \end{eqnarray*}$$

[証明]

$(1)$ $X$の元$y$を任意にとり $y \in \rho (x)$とすれば，$\rho (x)$の定義から$xRy$となる。 逆に$xRy$なら定義により $y \in \rho (x)$

$(2)$ $X$の元$x,y$を任意にとると， $\rho (x) = \rho (y)$とすると $x \in \rho (x)$から$xRy$
逆に$xRy$として
$z$を任意にとって $z \in \rho (x)$とすると${}_zR_x$ゆえ，これと$xRy$から
$zRy$　従って　 $z \in \rho (y)$
$z$は任意にとったから

$$(\forall z)(z \in \rho (x) \Rightarrow z \in \rho (y))$$

よって $\rho (x) \subseteq \rho (y)$
同様にして $\rho (y) \subseteq \rho (x)$も得られるので，

$$\rho (x) = \rho (y)$$

$(3)$ $X$の元$x,y$を任意にとると，

$$\rho (x) \cap (y) \ne \Phi$$

なら　

$$(\exists z)(z \in \rho (x)~and~z \in \rho (y))$$

$z \in \rho (x)$ and  $z \in \rho (y)$から　 $zRx \ and \ zRy$　が得られ，$xRy$
逆に$xRy$なら　$(1)$から　 $\rho (x) = \rho (y)$　従って　

$$\rho (x) \cap \rho (y) \ne \Phi$$

$(4)$任意の$x \in X$
について$xRx$ですから， $x \in \rho (x)$
よって $\{ x\} \subseteq \rho (x)$

$$\bigcup_{x \in X} \rho (x) \supseteq \bigcup_{x \in X} \{ x\} = X$$

一方 $\rho (x) \subseteq X$ですから

$$\cup \rho (x)\subseteq X \ , \ x \in X$$

結局

$$\bigcup_{x \in X} \rho (x)=X$$

[証明終り]

問題
$X = \{ a,b,c,d\}$とするとき

$$R=\{ (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)\}$$

は同値関係の例です． $\rho (a),\rho (b),\rho (c)$を求めてください．