商集合

$X$の各元$x$についての同値類$\rho$ $(x)$の全体を $X/R$ で表し，$X$の$R$による商集合と言います．

$$X/R = \{ \rho (x)\vert x \in X\}$$

上の$(1)$から$(4)$によれば

$$\begin{eqnarray*} && (\forall s \in X/R)(\forall x \in s)(s = \rho (x)) \\ &&... ...ightarrow s \cap u = \Phi ) \\ && \bigcup_{s \in X/R} = X \\ \end{eqnarray*}$$

$X$は同値類の

$$s \in X/R$$

で分割されています．

問題

$X=Z$,$Z$は整数全体の集合

$$R = \{ (n,m)\vert m \in Z~and~n \in Z~and~(\exists k \in Z)~~(n - m = 7k)\}$$

とするとき$R$は同値関係です．

$$\bigcup_{x \in Z} \rho (x)=Z$$

を確かめて下さい． $X/R$ の元はいくつありますか？