基数の順序関係

$N_{like}$の元である基数 $Card(X),Card(Y)$には次のように順序関係が定義できます．

$$Card( X ) \le Card( Y )　\stackrel{def}{\Leftrightarrow} 　 XからYへの単射が存在する$$

すなわち

$$Card( X ) \le Card( Y )　\stackrel{def}{\Leftrightarrow}　(\exists f：X\to Y) \ ( f：単射)$$

$\left[{順序関係であることの証明}\right]$

(0)　まず、　 $Card(X),Card(Y)は同値類ですので，その代表元 X,Y$ の取り方に上で定義した順序が依存しないことを示す必要があります．

$$X \sim X',Y \sim Y'$$

すなわち,

$$Card(X)＝Card(X'),Card(Y)＝Card(Y')$$

とすると
$Card(X)\le Card(Y)$のとき,定義から,$X$から$Y$ への単射$f：X\to Y$　が存在します．
また $X\sim X’$ですから　$XからX'$への双射$g：X\to X'$　が存在します．
$Y\sim Y’$ですから　$YからY'$への双射$h：Y\to Y'$　が存在します．

$$\begin{array}{ccc} X & \smash{\mathop{\hbox to 1cm{\rightar... ...hbox to 1cm{\rightarrowfill }}\limits^{k} } & Y' \end{array}$$

すると

$$k＝h \cdot f \cdot g^{-1}$$

という合成写像を作れば，$k$は$X'$から$Y’$への単射になります．
すなわち

$$Card(X') \le Card(Y')$$

です．

(1)　恒等写像　

$$id_{X} ：x\in X \longmapsto x \in X$$

　　 は$X$から$X$への双射ですから
　　 $X \sim X$　すなわち $Card(X)＝Card(X)$

(2)　 $Card(X)\le Card(Y)$　かつ　 $Card(Y)\le Card(Z)$のとき
定義から$X$から$Y$への単射$f$と$Y$から$Z$への単射$g$が存在し
ます．

$$X \smash{\mathop{\hbox to 1cm{\rightarrowfill }}\limits^{f}... ...\smash{\mathop{\hbox to 1cm{\rightarrowfill }}\limits^{g} } Z$$

それらの合成写像$g\cdot f$は$X$から$Z$への単射です．
よって

$$Card(X)\le Card(Z)$$

(3)　 $Card(X)\le Card(Y)$　かつ　 $Card(Y)\le Card(X)$のとき

$$Card(X)＝Card(Y)$$

(3)の証明

定義から$X$から$Y$への単射$f$と$Y$から$X$への単射$g$が存在します．
このとき$f,g$のうちどちらかが双射なら$X\sim Y$
すなわち

$$Card(X)＝Card(Y)$$

となります．
以下のようにして$f,g$から$X$から$Y$への双射を作り出します．
$x\in X$を任意に選びます．
$x_1＝x$とおき，次のようにして$X$または$Y$の 元の列 $x_n,n＝1,2,\cdots$を構成します．

1. 　 $x_1 \in g(Y) \subseteq X$　なら　$g$による逆像 $g^{-1}(x_1)$ がありますので
   $x_2＝g^{-1}(x_1)\in Y$
   
2. $x_1\in X\setminus g(Y)$　なら　$g$による逆像$g^{-1}(x_1)$が存在しないので
   $x_1$でこの列の作成手続きは終了
   $X\setminus g(Y)$は$X$から$g(Y)$の要素を取り除いた集合です．
3. $x_2\in f(X)\subseteq Y$　なら　$f$による逆像$f^{-1}(x_2)$ がありますので
   
   
   $$x_3＝f^{-1}(x_2)\in X$$
   
   
   
   
4. $x_2\in Y\setminus f(Y)$　なら　$f$による逆像$f^{-1}(x_2)$ が存在しないので
   $x_2$でこの列の作成手続きは終了．
   この手続きを繰り返します．

さて，$x\in X$から出発して

$$\begin{eqnarray*}　 &&x_1＝x\in X ,\\ &&x_2＝g^{-1}(x_1)\in Y,\\ &&x_3＝f^{-1}(x_2)\in X,\\ &&x_4＝g^{-1}(x_3)\in Y,\\ &&\cdots \end{eqnarray*}$$

　

というように列
$x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots$が作られて行くわけですが
最初の$x\in X$の取り方によって,

(1)　 $x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots$が無限の列になる。（手続きが無限に繰り 返される）

(2)　 $x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots$が奇数個の有限の列になる。（手続きが奇 数回目で終了）

(3)　 $x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots$が偶数個の有限の列になる。（手続きが偶 数回目で終了）

のどれかになります．
$X$を(1),(2),(3)の場合によって分割します．

$$X_1＝\{x\in X｜xから作られる列が(1)の場合\}$$

$$X_2＝\{x\in X｜xから作られる列が(2)の場合\}$$

$$X_3＝\{x\in X｜xから作られる列が(3)の場合\}$$

まったく同様の議論により
$y\in Y$を選び $y_1,y_2,y_3,y_4,\cdots$をることが可能で
$y\in Y$から出発して

$$y_1＝y\in Y$$

$$y_2＝f^{-1}(y_1)\in X$$

$$y_3＝g^{-1}(y_2)\in Y$$

$$y_4＝f^{-1}(y_3)\in X$$

$$\cdots$$

というように列が作られて行くわけですが
最初の$y\in Y$の取り方によって,

(1')　 $y_1,y_2,y_3,y_4,…$が無限の列になる。（手続きが無限に繰り返
される）

(2')　 $y_1,y_2,y_3,y_4,…$が奇数個の有限の列になる。（手続きが奇数
回目で終了）

(3')　 $y_1,y_2,y_3,y_4,…$が偶数個の有限の列になる。（手続きが偶数
 回目で終了）

のどれかになります．
$Y$を(1'),(2'),(3')の場合によって分割します．

$$Y_1＝\{y\in Y｜yから作られる列が(1')の場合\}$$

$$Y_2＝\{y\in Y｜yから作られる列が(2')の場合\}$$

$$Y_3＝\{y\in Y｜yから作られる列が(3')の場合\}$$

すると
$Y_1$の任意の元$y$に対して必ず$X_1$の元$x$が存在して$y＝f($x$)$となります． このような元が存在しなければ$y$は$Y_1$の元ではないことになります．
$Y_1\subseteq f(X_1)\;\;$　また，

$f(X_1)\subseteq Y_1$も成り立ちます．
　従って，$f(X_1)＝Y_1$となります．

$$f^{-1}(Y_2)＝X_3$$

$$f^{-1}(Y_3)＝X_2$$

$$g^{-1}(X_2)＝Y_3$$

$$g^{-1}(X_3)＝Y_2$$

が成り立ちますので，$h：X \to Y$を

$$\begin{eqnarray*} &&h(x)＝f(x)（x\in X_1 \bigcup X_3）\\ &&h(x)＝g^{-1}(x)（x\in X_2） \end{eqnarray*}$$

で定義すると$h$は $X＝X_1\bigcup X_2\bigcup X_3$から $Y＝Y_1\bigcup Y_2\bigcup Y_3$への双射になります．
よって$X\sim Y$　すなわち　 $Card(X)＝Card(Y)$が成り立ちます．
以上から,

$$\begin{eqnarray*} &&(\forall X\in \Omega)(Card(X)\le Card(X)）\\ &&(\forall X... ...Card(Y) ~and~Card(Y)\le Card(X)~\Rightarrow~Card(X)＝Card(Y)） \end{eqnarray*}$$

証明終り

以上で $N\b{} Like＝\{Card(X)｜X\in \Omega\}$ は順序集合であることが判り ました．