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基数の集合の整列性

最後に以下の定理を紹介し終わりとします。

[定理]
${\bf E}$ を基数の集合とするとき, ${\bf E}$ は順序 $Card(X)\le Card(Y)$ について整列順序集合である。

[証明]

集合族

$\begin{displaymath} (X_S) ,S \in {S \in {\bf E}} \end{displaymath}$

を

$\begin{displaymath} \prod _ {S \in {\bf E}}S \end{displaymath}$

の元から選びます。

$\begin{displaymath} S \in {\bf E} \end{displaymath}$

とすると $X \in \Omega$ が存在して

$\begin{displaymath} S=Card(X), X_S \in Card(X)~~(すなわち,(\exists f)(f:X_S \rightarrow X ~and~f:双射) \end{displaymath}$

です。

$\begin{displaymath} {\bf F} =\bigcup_{S \in {\bf E}} X_S \end{displaymath}$

とおくと,

$\begin{displaymath} (\forall S \in S \in {\bf E}) (\exists S_F \subseteq {\bf F}) (S=Card(S_F)) \end{displaymath}$

整列可能性定理により ${\bf F}$ には整列順序

$\begin{displaymath}x \le_F y, ~~x,y \in {\bf F}\end{displaymath}$

が定義される。

また,同定理の系によれば ${\bf F}$ のべき集合

$\begin{displaymath} {\cal B}({\bf F})=\{K \vert K \subseteq {\bf F} \} \end{displaymath}$

について,

$\begin{displaymath} (\forall K \in {\cal B}({\bf F}))(\exists L:L \subseteq {\bf F}~and~:{\bf F}の切片 )Card(K)=Card(L) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \{L\vert L \subseteq {\bf F}~and~{\bf F}の切片 \} \end{displaymath}$

は集合の包含関係の順序について整列集合であり,その任意の空でない部分集合は最小元をもつので,写像

$\begin{displaymath} \tau: S \in {\bf E} \mapsto min \{L\vert L \subseteq {\bf F}~and~{\bf F}の切片 ~and~ S=Card(L) \} \end{displaymath}$

が定義される。

このとき,

$\begin{eqnarray*} &&Card(X), Card(Y) \in {\bf E} ~and ~ Card(X) \le Card(Y)\\ ... ...ard(Y) \in {\bf E} ~and ~ \tau(Card(X)) \subseteq \tau(Card(Y)) \end{eqnarray*}$

実際,

$\begin{displaymath} \tau(Card(X)) \in \{L\vert L \subseteq {\bf F}~and~{\bf F}の切片 ~and~ Card(X)=Card(L) \} \end{displaymath}$

から

$\begin{displaymath} Card(\tau(Card(X)))=Card(X) \end{displaymath}$

同様に

$\begin{displaymath} Card(\tau(Card(Y)))=Card(Y) \end{displaymath}$

よって,

$\begin{eqnarray*} &&\tau(Card(X)) \subseteq \tau(Card(Y)) \\ &&\Rightarrow Ca... ... \le Card(\tau(Card(Y))) \\ &&\Rightarrow Card(X) \le Card(Y) \end{eqnarray*}$

逆に

$\begin{displaymath} Card(X) \le Card(Y) \end{displaymath}$

とすると,

$\begin{displaymath} Card(\tau(Card(Y)))=Card(Y) \end{displaymath}$

より,

$\begin{displaymath}D \subseteq \tau(Card(Y))\end{displaymath}$

が存在して

$\begin{displaymath} card(D)=Card(X) \end{displaymath}$

第4章の整列集合の同型定理の系3 によれば, $\tau(Card(Y))$ 切片,が存在して

$\begin{displaymath} Card(K)=Card(D)=Card(X) \end{displaymath}$

従って

$\begin{displaymath} \tau(Card(X)) \subseteq K \subseteq \tau(Card(Y)) \end{displaymath}$

よって

$\begin{displaymath} Card(X) \le Card(Y) \Rightarrow \tau(Card(X)) \subseteq \tau(Card(Y)) \end{displaymath}$

よって

$\begin{eqnarray*} &&Card(X), Card(Y) \in {\bf E} ~and ~ Card(X) \le Card(Y)\\ ... ...ard(Y) \in {\bf E} ~and ~ \tau(Card(X)) \subseteq \tau(Card(Y)) \end{eqnarray*}$

後者の関係は整列順序であるから,

$\begin{displaymath} Card(X), Card(Y) \in {\bf E} ~and ~ Card(X) \le Card(Y)\\ \end{displaymath}$

も整列順序
[証明終]

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Yasunari SHIDAMA