加算

基数 $Card(X),Card(Y)$の加算を次のように定義できます。

まず, $a,b$を$a \ne b$として　

$$\{ a\} \times X=\{ (a,x)｜x\in X\}$$

$$\{ b \} \times Y=\{(a,y)｜y \in Y\}$$

を作ります。$a \ne b$ゆえ 　　

$$\{ a\} \times X \cap　\{ b \} \times Y　= \phi$$

です。

$$Card(X) + Card(Y)=Card(\{ a\} \times X　 \cup　\{ b \} \times Y)$$

と定義します。 これは $Card(X),Card(Y)$の代表元の取り方に依存しません。 [証明] $X \sim X',　Y \sim Y'$　すなわち、

$$Card(X)=Card(X'),　Card(Y)=Card(Y')$$

　 とすると、

$X \sim X'$より　双射 $f:X \rightarrow X'$が存在します。 同様に $Y \sim Y'$より　双射 $g:Y \rightarrow Y'$が存在します。

このとき写像

$$\begin{eqnarray*} &&h:(a,x')\in \{ a\} \times X' \mapsto (a,ｆ^(-1)(x'))\in \{ ... ...n \{ b \} \times Y' \mapsto (b,ｆ^(-1)(x'))\in \{ b \} \times Y \end{eqnarray*}$$

を定義すると、h、kは双射で

$$\begin{eqnarray*} &&\{ a\} \times X　\cap　\{ b \} \times Y　= \phi \\ &&\{ a\} \times X' \cap　\{ b \} \times Y'　= \phi \end{eqnarray*}$$

から

$$\{ a\} \times X' \cup　\{ b \} \times Y'$$

から

$$\{ a\} \times X \cup　\{ b \} \times Y$$

への双射j

が

$$j(s)=h(s),s \in \{ a\} \times X'$$

$$j(s)=k(s),s \in \{ a\} \times Y'$$

で定義されます。 よって

$$\{ a\} \times X' \cup　\{ b \} \times Y' \sim \{ a\} \times X \cup　\{ b \} \times Y$$

すなわち

$$Card(\{ a\} \times X' \cup　\{ b \} \times Y')=Card(\{ a\} \times X \cup　\{ b \} \times Y)$$

[証明終り]

問6１(可換則, 結合則)

以下を証明してください。

$$\begin{eqnarray*} &&(1)　X \cap Y= \phi ならCard(X) + Card(Y)=Card(X \cup Y) \\... ...3)　Card(X) + (Card(Y) + Card(Z))=(Card(X) + Card(Y)) + Card(Z) \end{eqnarray*}$$

特に

$$Card(X) + Card( \phi )=Card( \phi ) + Card(X)=Card(X)$$

となります。

空集合 $\phi$ の基数$Card( \phi )$を $0$ で表します。

$$Card(X) + 0 = 0 + Card(X)=Card(X)$$

少し技巧的ですが

同様に

$$\begin{eqnarray*} &&Card(\{ \phi \})=１ \\ &&Card(\{\phi,\{ \phi \}\})=2 \\ &&Card(\{\phi,\{ \phi \},\{\phi,\{ \phi \} \} \})=3　\\ &&… \end{eqnarray*}$$

と定義します。

$$\begin{eqnarray*} &&Card(\{ a\} )=１ \\ &&Card(\{ a,b\} )=2　　ただし、a \ne ... ...&Card(\{ a,b,c\} )=3　ただし、a \ne b,a \ne c,b \ne c \\ &&… \end{eqnarray*}$$

が成立っています。

$X_i,i \in I$の基数の $Card(X_i),i \in I$ について

$$\Sigma_{i \in I} Card(X_i)　=Card( \bigcup_{i \in I} \{ i \} \times X_i)$$

と定義します。