乗算

基数 $Card(X),Card(Y)$の乗算を次のように定義できます。

$$Card(X) \cdot Card(Y)=Card(X \times Y)$$

問6.2(可換則、結合則、単位元１)

以下を証明してください。

(0)　上の乗算の定義はCard(X)、Card(Y)の代表元の取り方に依存しません。
$X \sim X'　Y \sim Y'$　すなわち、

$$Card(X)=Card(X'),Card(Y)=Card(Y')$$

すると、

$$Card(X \times Y)=Card(X' \times Y')$$

を証明してください。

(1)　

$$Card(X) \cdot Card(Y)=Card(Y) \cdot Card(X)$$

(2)　

$$Card(X) \cdot (Card(Y) \cdot Card(Z))=(Card(X) \cdot Card(Y)) \cdot Card(Z)$$

(3)　

$$Card(X) \cdot １=１ \cdot Card(X)=Card(X)$$

$X_i,i \in I$の基数の $Card(X_i),i \in I$ について

$$\prod_{i \in I}Card(X_i)=Card(\prod_{i \in I} \{i \} \times X_i)$$

と定義します。

$Y^X$で$X$から$Y$への関数のグラフ

$$\{ G_f \vert f:X \rightarrow Y \}$$

を表すことにします。