連続体仮説

$X$の部分集合全体を$P(X)$で表します。

$$P(X)=\{ Y｜Y \subseteq X \}$$

よく知られていますように

$$P(X) \sim \{0,1\}^X$$

であり

$$Card(P(X))=2^{Card(X)}$$

です。

このとき

$$x \in X \mapsto \{x \} \in P(X)$$

は単射ですから

$$Card(X) \le Card(P(X))=2^{Card(X)}$$

が成り立っています。

さらに

$$Card(X) \ne Card(P(X))$$

です。

[証明]

$Card(X)=Card(P(X))$とすると

$X$から $P(X)=\{Y\vert Y \subseteq X\}$への双射$f$が存在します。

任意の$x\in X$に対して $f(x) \subseteq X$ですから、次のような集合

$$Y=\{x\in X\vert not (x \in f(x)) \}$$

を考えます。しかし、

$Y \subseteq X$ゆえ、$Y \in P(X)$であり$f$は双射でしたからある$x_0 \in X$が 存在して$f(x_0)=Y$です。
すると、 $x_0\in f(x_0)$なら　$Y$の定義から　 $not (x_0 \in f(x_0))$
$not (x_0 \in f(x_0))$なら$Y$の定義から$x_0 \in Y$よって $x_0\in f(x_0)$ となり、矛盾が生じます。

この矛盾は $Card(X)=Card(P(X))$としたことによります。 [証明終り] 以上から

$$Card(X)<2^{Card(X)}$$

が判ります。

ここで

$$Card(X) \le Card(Z) \le 2^{Card(X)}$$

となる$Card(Z)$が存在するだろうか？という問題がでてきます。

無論、$X$が有限集合なら、

$$Card(X) \le Card(Z) \le 2^{Card(X)}$$

となる$Card(Z)$は存在します。

自然数$N$の集合について$P(N)$は実数の集合$R$と同値すなわち、

$$Card(R)=2^{Card(N)}$$

であることが知られています。また

$$Card(X)=Card(N)$$

なる集合Xを可算集合、そうでない無限集合を、非可算集合といいます。

$$Card(N) \le Card(Z) \le Card(R)=2^{Card(N)}$$

となる$Card(Z)$は存在しないであろうという仮説が調べられました。

連続体仮説と呼ばれています。その結果は、従来の数学の公理系で、この仮説を肯定しても、否定しても矛盾のない、数学が展開できるという、コーヘンの「連続体仮説の独立性」の証明です。

ここでは、詳しく、述べませんが、要するに他の公理からは証明できないので、これも一つの公理として、数学の公理系に加えるべしとなりました。

問題6.4

(1) $n\in N \mapsto n\in R$は$N$から$R$への単射なので

$$Card(N) \le Card(R)$$

は直に判ります。

$$Card(N) \ne Card(R)$$

は有名なカントールの対角線論法で証明できます。 カントールの対角線論法を扱った教科書には大抵出ていますので調べてください。

(2) $Q$を有理数全体の集合とすると、

$$Card(N)=Card(Q)$$

であることも知られています。 これも基数を扱った教科書には大抵出ていますので調べてください。

(3)

$$P(X) \sim \{0,1\}^X$$

を証明してください。